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Theorem zfcndinf 8482
Description: Axiom of Infinity ax-inf 7582, reproved from conditionless ZFC axioms. Since we have already reproved Extensionality, Replacement, and Power Sets above, we are justified in referencing theorem el 4373 in the proof. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by NM, 15-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
zfcndinf  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem zfcndinf
StepHypRef Expression
1 el 4373 . . 3  |-  E. w  x  e.  w
2 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ w  x  e.  y
3 nfe1 1747 . . . . . . . 8  |-  F/ w E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y )
42, 3nfim 1832 . . . . . . 7  |-  F/ w
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) )
54nfal 1864 . . . . . 6  |-  F/ w A. x ( x  e.  y  ->  E. w
( x  e.  w  /\  w  e.  y
) )
62, 5nfan 1846 . . . . 5  |-  F/ w
( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
76nfex 1865 . . . 4  |-  F/ w E. y ( x  e.  y  /\  A. x
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
8 axinfnd 8470 . . . . 5  |-  E. y
( x  e.  w  ->  ( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
9819.37aiv 1923 . . . 4  |-  ( x  e.  w  ->  E. y
( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
107, 9exlimi 1821 . . 3  |-  ( E. w  x  e.  w  ->  E. y ( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w
( x  e.  w  /\  w  e.  y
) ) ) )
111, 10ax-mp 8 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. x ( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
12 elequ1 1728 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  y  <->  x  e.  y ) )
13 elequ1 1728 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  w  <->  x  e.  w ) )
1413anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  w  /\  w  e.  y
)  <->  ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
1514exbidv 1636 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  E. w
( x  e.  w  /\  w  e.  y
) ) )
1612, 15imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. w
( x  e.  w  /\  w  e.  y
) ) ) )
1716cbvalv 1984 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) )  <->  A. x
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
1817anbi2i 676 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. x
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
1918exbii 1592 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  A. x
( x  e.  y  ->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
2011, 19mpbir 201 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-reg 7549  ax-inf 7582
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-nul 3621  df-sn 3812  df-pr 3813
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