Theorem zfcndrep 4889

Description: Axiom of Replacement, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndrep	|- (A.wE.yA.z(A.yph -> z = y) -> E.yA.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbe1 990	. . . . . 6 |- (E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.yE.yA.z(A.yph -> z = y))
2		ax-17 1190	. . . . . . . 8 |- (z e. w -> A.y z e. w)
3		ax-17 1190	. . . . . . . . . 10 |- (w e. x -> A.y w e. x)
4		hba1 979	. . . . . . . . . 10 |- (A.yA.yph -> A.yA.yA.yph)
5	3, 4	hban 985	. . . . . . . . 9 |- ((w e. x /\ A.yA.yph) -> A.y(w e. x /\ A.yA.yph))
6	5	hbex 982	. . . . . . . 8 |- (E.w(w e. x /\ A.yA.yph) -> A.yE.w(w e. x /\ A.yA.yph))
7	2, 6	hbbi 986	. . . . . . 7 |- ((z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) -> A.y(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
8	7	hbal 981	. . . . . 6 |- (A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) -> A.yA.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
9	1, 8	hbim 983	. . . . 5 |- ((E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))) -> A.y(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))))
10	9	hbex 982	. . . 4 |- (E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))) -> A.yE.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))))
11		elequ2 1124	. . . . . . . . . 10 |- (y = x -> (w e. y <-> w e. x))
12	11	anbi1d 615	. . . . . . . . 9 |- (y = x -> ((w e. y /\ A.yA.yph) <-> (w e. x /\ A.yA.yph)))
13	12	exbidv 1261	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (E.w(w e. y /\ A.yA.yph) <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
14	13	bibi2d 616	. . . . . . 7 |- (y = x -> ((z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)) <-> (z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))))
15	14	albidv 1260	. . . . . 6 |- (y = x -> (A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)) <-> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))))
16	15	imbi2d 610	. . . . 5 |- (y = x -> ((E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))) <-> (E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))))
17	16	exbidv 1261	. . . 4 |- (y = x -> (E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))) <-> E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))))
18		axrepnd 4869	. . . . 5 |- E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph)))
19	2	19.3 1007	. . . . . . . . 9 |- (A.y z e. w <-> z e. w)
20		ax-17 1190	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. y -> A.z w e. y)
21	20	19.3 1007	. . . . . . . . . . 11 |- (A.z w e. y <-> w e. y)
22	21	anbi1i 480	. . . . . . . . . 10 |- ((A.z w e. y /\ A.yA.yph) <-> (w e. y /\ A.yA.yph))
23	22	exbii 1027	. . . . . . . . 9 |- (E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph) <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))
24	19, 23	bibi12i 608	. . . . . . . 8 |- ((A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph)) <-> (z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)))
25	24	albii 975	. . . . . . 7 |- (A.z(A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph)) <-> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)))
26	25	imbi2i 185	. . . . . 6 |- ((E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph))) <-> (E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))))
27	26	exbii 1027	. . . . 5 |- (E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph))) <-> E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))))
28	18, 27	mpbi 189	. . . 4 |- E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)))
29	10, 17, 28	chvar 1150	. . 3 |- E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
30	29	19.35i 1052	. 2 |- (A.wE.yA.z(A.yph -> z = y) -> E.wA.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
31		ax-17 1190	. . . . 5 |- (z e. y -> A.w z e. y)
32		hbe1 990	. . . . 5 |- (E.w(w e. x /\ A.yph) -> A.wE.w(w e. x /\ A.yph))
33	31, 32	hbbi 986	. . . 4 |- ((z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)) -> A.w(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
34	33	hbal 981	. . 3 |- (A.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)) -> A.wA.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
35		elequ2 1124	. . . . 5 |- (w = y -> (z e. w <-> z e. y))
36		hba1 979	. . . . . . . . 9 |- (A.yph -> A.yA.yph)
37	36	19.3 1007	. . . . . . . 8 |- (A.yA.yph <-> A.yph)
38	37	anbi2i 479	. . . . . . 7 |- ((w e. x /\ A.yA.yph) <-> (w e. x /\ A.yph))
39	38	exbii 1027	. . . . . 6 |- (E.w(w e. x /\ A.yA.yph) <-> E.w(w e. x /\ A.yph))
40	39	a1i 8	. . . . 5 |- (w = y -> (E.w(w e. x /\ A.yA.yph) <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
41	35, 40	bibi12d 627	. . . 4 |- (w = y -> ((z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) <-> (z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph))))
42	41	albidv 1260	. . 3 |- (w = y -> (A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) <-> A.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph))))
43	8, 34, 42	cbvex 1149	. 2 |- (E.wA.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) <-> E.yA.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
44	30, 43	sylib 198	1 |- (A.wE.yA.z(A.yph -> z = y) -> E.yA.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-reg 4517

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384

Copyright terms: Public domain