MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfcndrep Unicode version

Theorem zfcndrep 8422
Description: Axiom of Replacement ax-rep 4261, reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfcndrep  |-  ( A. w E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem zfcndrep
StepHypRef Expression
1 nfe1 1739 . . . . . 6  |-  F/ y E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )
2 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  e.  w
3 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  x
4 nfa1 1796 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y A. y ph
53, 4nfan 1836 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
65nfex 1855 . . . . . . . 8  |-  F/ y E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
72, 6nfbi 1846 . . . . . . 7  |-  F/ y ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )
87nfal 1854 . . . . . 6  |-  F/ y A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )
91, 8nfim 1822 . . . . 5  |-  F/ y ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
109nfex 1855 . . . 4  |-  F/ y E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
) )
11 elequ2 1722 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  x ) )
1211anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )  <->  ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
1312exbidv 1633 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
1413bibi2d 310 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) )  <-> 
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
1514albidv 1632 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
)  <->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
1615imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )  <->  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) ) ) )
1716exbidv 1633 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )  <->  E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
) ) ) )
18 axrepnd 8402 . . . . 5  |-  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  w  <->  E. w
( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
) )
19219.3 1793 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  z  e.  w  <->  z  e.  w )
20 nfv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  w  e.  y
212019.3 1793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  w  e.  y  <->  w  e.  y )
2221anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )  <->  ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) )
2322exbii 1589 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) 
<->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
)
2419, 23bibi12i 307 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  z  e.  w  <->  E. w ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) )  <->  ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
) )
2524albii 1572 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( A. y 
z  e.  w  <->  E. w
( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
)  <->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )
2625imbi2i 304 . . . . . 6  |-  ( ( E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y  z  e.  w  <->  E. w ( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )  <->  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
2726exbii 1589 . . . . 5  |-  ( E. w ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  w  <->  E. w
( A. z  w  e.  y  /\  A. y A. y ph )
) )  <->  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) ) )
2818, 27mpbi 200 . . . 4  |-  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y A. y ph ) ) )
2910, 17, 28chvar 2021 . . 3  |-  E. w
( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
302919.35i 1608 . 2  |-  ( A. w E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. w A. z
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) ) )
31 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ w  z  e.  y
32 nfe1 1739 . . . . 5  |-  F/ w E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph )
3331, 32nfbi 1846 . . . 4  |-  F/ w
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) )
3433nfal 1854 . . 3  |-  F/ w A. z ( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) )
35 elequ2 1722 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  y ) )
36 nfa1 1796 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y ph
373619.3 1793 . . . . . . . 8  |-  ( A. y A. y ph  <->  A. y ph )
3837anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) 
<->  ( w  e.  x  /\  A. y ph )
)
3938exbii 1589 . . . . . 6  |-  ( E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y ph )
)
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y ph )
) )
4135, 40bibi12d 313 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )  <-> 
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) ) )
4241albidv 1632 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y A. y ph )
)  <->  A. z ( z  e.  y  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y ph )
) ) )
438, 34, 42cbvex 2020 . 2  |-  ( E. w A. z ( z  e.  w  <->  E. w
( w  e.  x  /\  A. y A. y ph ) )  <->  E. y A. z ( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) )
4430, 43sylib 189 1  |-  ( A. w E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z
( z  e.  y  <->  E. w ( w  e.  x  /\  A. y ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344  ax-reg 7493
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-nul 3572  df-sn 3763  df-pr 3764
  Copyright terms: Public domain W3C validator