Theorem zfcndun 4890

Description: Axiom of Union, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndun	|- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 4871	. 2 |- E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y)
2		elequ2 1124	. . . . . . 7 |- (w = y -> (z e. w <-> z e. y))
3		elequ1 1123	. . . . . . 7 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
4	2, 3	anbi12d 626	. . . . . 6 |- (w = y -> ((z e. w /\ w e. x) <-> (z e. y /\ y e. x)))
5	4	cbvexv 1297	. . . . 5 |- (E.w(z e. w /\ w e. x) <-> E.y(z e. y /\ y e. x))
6	5	imbi1i 186	. . . 4 |- ((E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> (E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
7	6	albii 975	. . 3 |- (A.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> A.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
8	7	exbii 1027	. 2 |- (E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
9	1, 8	mpbir 190	1 |- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-reg 4517

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-opab 2635  df-eprel 2794  df-fr 2880

Copyright terms: Public domain