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Theorem zfinf2 7338
Description: A standard version of the Axiom of Infinity, using definitions to abbreviate. Axiom Inf of [BellMachover] p. 472. (See ax-inf2 7337 for the unabbreviated version.) (Contributed by NM, 30-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
zfinf2  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfinf2
StepHypRef Expression
1 ax-inf2 7337 . 2  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2 0el 3472 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y )
3 df-rex 2550 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
) )
42, 3bitri 242 . . . 4  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y ) )
5 sucel 4464 . . . . . . 7  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z  e.  x  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )
6 df-rex 2550 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) )  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
75, 6bitri 242 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
87ralbii 2568 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  <->  A. y  e.  x  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
9 df-ral 2549 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  E. z ( z  e.  x  /\  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
108, 9bitri 242 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
114, 10anbi12i 681 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  <->  ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
1211exbii 1574 . 2  |-  ( E. x ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  <->  E. x ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
131, 12mpbir 202 1  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1533    = wceq 1628    e. wcel 1688   A.wral 2544   E.wrex 2545   (/)c0 3456   suc csuc 4393
This theorem is referenced by:  omex  7339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-nul 3457  df-sn 3647  df-suc 4397
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