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Theorem zfinf2 7359
Description: A standard version of the Axiom of Infinity, using definitions to abbreviate. Axiom Inf of [BellMachover] p. 472. (See ax-inf2 7358 for the unabbreviated version.) (Contributed by NM, 30-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
zfinf2  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfinf2
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-inf2 7358 . 2  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2 0el 3484 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y )
3 df-rex 2562 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
) )
42, 3bitri 240 . . . 4  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y ) )
5 sucel 4481 . . . . . . 7  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z  e.  x  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )
6 df-rex 2562 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) )  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
75, 6bitri 240 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
87ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  <->  A. y  e.  x  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
9 df-ral 2561 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  E. z ( z  e.  x  /\  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
108, 9bitri 240 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
114, 10anbi12i 678 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  <->  ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
1211exbii 1572 . 2  |-  ( E. x ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  <->  E. x ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
131, 12mpbir 200 1  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468   suc csuc 4410
This theorem is referenced by:  omex  7360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3469  df-sn 3659  df-suc 4414
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