MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfnuleu Unicode version

Theorem zfnuleu 4269
Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2365 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4271). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
zfnuleu.1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Assertion
Ref Expression
zfnuleu  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfnuleu
StepHypRef Expression
1 zfnuleu.1 . . . 4  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
2 nbfal 1331 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <->  F.  ) )
32albii 1572 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
43exbii 1589 . . . 4  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
51, 4mpbi 200 . . 3  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )
6 nfv 1626 . . . 4  |-  F/ x  F.
76bm1.1 2365 . . 3  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )  ->  E! x A. y
( y  e.  x  <->  F.  ) )
85, 7ax-mp 8 . 2  |-  E! x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )
93eubii 2240 . 2  |-  ( E! x A. y  -.  y  e.  x  <->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
108, 9mpbir 201 1  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    F. wfal 1323   A.wal 1546   E.wex 1547   E!weu 2231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235
  Copyright terms: Public domain W3C validator