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Theorem zfnuleu 4086
Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2241 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4088). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
zfnuleu.1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Assertion
Ref Expression
zfnuleu  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfnuleu
StepHypRef Expression
1 zfnuleu.1 . . . 4  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
2 nbfal 1322 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <->  F.  ) )
32albii 1554 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
43exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
51, 4mpbi 201 . . 3  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )
6 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ x  F.
76bm1.1 2241 . . 3  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )  ->  E! x A. y
( y  e.  x  <->  F.  ) )
85, 7ax-mp 10 . 2  |-  E! x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )
93eubii 2126 . 2  |-  ( E! x A. y  -.  y  e.  x  <->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
108, 9mpbir 202 1  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178    F. wfal 1313   A.wal 1532   E.wex 1537    e. wcel 1621   E!weu 2117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121
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