Theorem zfnuleu 2781

Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 1504 to strengthen axnul 2783).

Hypothesis

Ref	Expression
zfnuleu.1	|- E.xA.y -. y e. x

Assertion

Ref	Expression
zfnuleu	|- E!xA.y -. y e. x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem zfnuleu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfnuleu.1	. . . 4 |- E.xA.y -. y e. x
2		equid 1162	. . . . . . 7 |- y = y
3	2	nbn3 728	. . . . . 6 |- (-. y e. x <-> (y e. x <-> -. y = y))
4	3	albii 1035	. . . . 5 |- (A.y -. y e. x <-> A.y(y e. x <-> -. y = y))
5	4	exbii 1087	. . . 4 |- (E.xA.y -. y e. x <-> E.xA.y(y e. x <-> -. y = y))
6	1, 5	mpbi 187	. . 3 |- E.xA.y(y e. x <-> -. y = y)
7		ax-17 1007	. . . 4 |- (-. y = y -> A.x -. y = y)
8	7	bm1.1 1504	. . 3 |- (E.xA.y(y e. x <-> -. y = y) -> E!xA.y(y e. x <-> -. y = y))
9	6, 8	ax-mp 7	. 2 |- E!xA.y(y e. x <-> -. y = y)
10	4	eubii 1426	. 2 |- (E!xA.y -. y e. x <-> E!xA.y(y e. x <-> -. y = y))
11	9, 10	mpbir 188	1 |- E!xA.y -. y e. x

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 144  A.wal 990   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  E!weu 1419

This theorem is referenced by:  0ex 2785  snex 2826

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421

Copyright terms: Public domain