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Theorem zfnuleu 4327
Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2420 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4329). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
zfnuleu.1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Assertion
Ref Expression
zfnuleu  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfnuleu
StepHypRef Expression
1 zfnuleu.1 . . . 4  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
2 nbfal 1334 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <->  F.  ) )
32albii 1575 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
43exbii 1592 . . . 4  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
51, 4mpbi 200 . . 3  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )
6 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ x  F.
76bm1.1 2420 . . 3  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )  ->  E! x A. y
( y  e.  x  <->  F.  ) )
85, 7ax-mp 8 . 2  |-  E! x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )
93eubii 2289 . 2  |-  ( E! x A. y  -.  y  e.  x  <->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
108, 9mpbir 201 1  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    F. wfal 1326   A.wal 1549   E.wex 1550   E!weu 2280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284
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