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Theorem zfnuleu 4360
Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2427 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 4362). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
zfnuleu.1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Assertion
Ref Expression
zfnuleu  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfnuleu
StepHypRef Expression
1 zfnuleu.1 . . . 4  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
2 nbfal 1335 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <->  F.  ) )
32albii 1576 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
43exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
51, 4mpbi 201 . . 3  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )
6 nfv 1630 . . . 4  |-  F/ x  F.
76bm1.1 2427 . . 3  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )  ->  E! x A. y
( y  e.  x  <->  F.  ) )
85, 7ax-mp 5 . 2  |-  E! x A. y ( y  e.  x  <->  F.  )
93eubii 2296 . 2  |-  ( E! x A. y  -.  y  e.  x  <->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  F.  ) )
108, 9mpbir 202 1  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 178    F. wfal 1327   A.wal 1550   E.wex 1551   E!weu 2287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291
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