Theorem zfpair2 2776

Description: Derive the abbreviated version of the Axiom of Pairing from ax-pr 2775. See zfpair 2773 for its derivation from the other axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfpair2	|- {x, y} e. V

Proof of Theorem zfpair2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pr 2775	. . . 4 |- E.zA.w((w = x \/ w = y) -> w e. z)
2	1	bm1.3ii 2702	. . 3 |- E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y))
3		dfcleq 1469	. . . . 5 |- (z = {x, y} <-> A.w(w e. z <-> w e. {x, y}))
4		visset 1810	. . . . . . . 8 |- w e. V
5	4	elpr 2421	. . . . . . 7 |- (w e. {x, y} <-> (w = x \/ w = y))
6	5	bibi2i 607	. . . . . 6 |- ((w e. z <-> w e. {x, y}) <-> (w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
7	6	albii 998	. . . . 5 |- (A.w(w e. z <-> w e. {x, y}) <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
8	3, 7	bitr 173	. . . 4 |- (z = {x, y} <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
9	8	exbii 1050	. . 3 |- (E.z z = {x, y} <-> E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
10	2, 9	mpbir 190	. 2 |- E.z z = {x, y}
11	10	issetri 1813	1 |- {x, y} e. V

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1808  {cpr 2407

This theorem is referenced by:  prex 2777  pwssun 2823  fr2nr 2921  xpsspw 3253  funopg 3543  fiint 4543  brdom7disj 4787  brdom6disj 4788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-12 967  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-v 1809  df-un 2047  df-sn 2409  df-pr 2410

Copyright terms: Public domain