Theorem zfregcl 4567

Description: The Axiom of Regularity with class variables.

Hypothesis

Ref	Expression
zfregcl.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
zfregcl	|- (E.x x e. A -> E.x e. A A.y e. x -. y e. A)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem zfregcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregcl.1	. 2 |- A e. V
2		eleq2 1527	. . . 4 |- (z = A -> (x e. z <-> x e. A))
3	2	exbidv 1274	. . 3 |- (z = A -> (E.x x e. z <-> E.x x e. A))
4		eleq2 1527	. . . . . 6 |- (z = A -> (y e. z <-> y e. A))
5	4	negbid 609	. . . . 5 |- (z = A -> (-. y e. z <-> -. y e. A))
6	5	ralbidv 1655	. . . 4 |- (z = A -> (A.y e. x -. y e. z <-> A.y e. x -. y e. A))
7	6	rexeqd 1784	. . 3 |- (z = A -> (E.x e. z A.y e. x -. y e. z <-> E.x e. A A.y e. x -. y e. A))
8	3, 7	imbi12d 624	. 2 |- (z = A -> ((E.x x e. z -> E.x e. z A.y e. x -. y e. z) <-> (E.x x e. A -> E.x e. A A.y e. x -. y e. A)))
9		hbre1 1681	. . 3 |- (E.x e. z A.y e. x -. y e. z -> A.xE.x e. z A.y e. x -. y e. z)
10		axreg 4566	. . . 4 |- (x e. z -> E.x(x e. z /\ A.y(y e. x -> -. y e. z)))
11		df-ral 1641	. . . . . 6 |- (A.y e. x -. y e. z <-> A.y(y e. x -> -. y e. z))
12	11	rexbii 1660	. . . . 5 |- (E.x e. z A.y e. x -. y e. z <-> E.x e. z A.y(y e. x -> -. y e. z))
13		df-rex 1642	. . . . 5 |- (E.x e. z A.y(y e. x -> -. y e. z) <-> E.x(x e. z /\ A.y(y e. x -> -. y e. z)))
14	12, 13	bitr2 174	. . . 4 |- (E.x(x e. z /\ A.y(y e. x -> -. y e. z)) <-> E.x e. z A.y e. x -. y e. z)
15	10, 14	sylib 198	. . 3 |- (x e. z -> E.x e. z A.y e. x -. y e. z)
16	9, 15	19.23ai 1060	. 2 |- (E.x x e. z -> E.x e. z A.y e. x -. y e. z)
17	1, 8, 16	vtocl 1833	1 |- (E.x x e. A -> E.x e. A A.y e. x -. y e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802

This theorem is referenced by:  zfreg 4568  zfreg2 4569  elirrv 4570

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-ext 1452  ax-reg 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803

Copyright terms: Public domain