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Theorem zindbi 26899
Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zindbi.1  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( ps 
<->  ch ) )
zindbi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
zindbi.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  ch ) )
zindbi.4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  th ) )
zindbi.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
zindbi  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( th 
<->  ta ) )
Distinct variable groups:    ph, y    x, A, y    ps, x    ch, x    th, x    ta, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)

Proof of Theorem zindbi
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9041 . . . 4  |-  0  e.  _V
2 zindbi.4 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  th ) )
31, 2sbcie 3155 . . 3  |-  ( [.
0  /  x ]. ph  <->  th )
4 0z 10249 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ZZ  <->  0  e.  ZZ ) )
6 breq1 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <_  b  <->  0  <_  b ) )
75, 63anbi13d 1256 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b ) ) )
8 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
98bibi1d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [.
0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) )
107, 9imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_ 
b )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_  b )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) ) )
11 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  (
b  e.  ZZ  <->  A  e.  ZZ ) )
12 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  (
0  <_  b  <->  0  <_  A ) )
1311, 123anbi23d 1257 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  (
( 0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_  b )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) ) )
14 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
1514bibi2d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  (
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [.
0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
1613, 15imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  (
( ( 0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) ) )
17 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  ( [. a  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) )
1817bibi2d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. a  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
19 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( [. a  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )
2019bibi2d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. a  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) )
21 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( [. a  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
2221bibi2d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. a  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
23 biidd 229 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) )
24 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
25 zindbi.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2624, 25sbcie 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  ps )
27 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )
2826, 27syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( ps 
<-> 
[. b  /  x ]. ph ) )
29 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  +  1 )  e. 
_V
30 zindbi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3129, 30sbcie 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( y  +  1 )  /  x ]. ph  <->  ch )
32 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
y  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
33 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +  1 )  =  ( b  +  1 )  ->  ( [. ( y  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  ( [. ( y  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
3531, 34syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( ch 
<-> 
[. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
3628, 35bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  (
( ps  <->  ch )  <->  (
[. b  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
37 zindbi.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3836, 37vtoclga 2977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
39383ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
4039bibi2d 310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
4140biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
4218, 20, 22, 20, 23, 41uzind 10317 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )
4310, 16, 42vtocl2g 2975 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
44433adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  (
( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
4544pm2.43i 45 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
464, 45mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
47 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ZZ  <->  A  e.  ZZ ) )
48 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  <_  b  <->  A  <_  b ) )
4947, 483anbi13d 1256 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_ 
b ) ) )
50 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
5150bibi1d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) )
5249, 51imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_ 
b )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_ 
b )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) ) )
53 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  0  ->  (
b  e.  ZZ  <->  0  e.  ZZ ) )
54 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  0  ->  ( A  <_  b  <->  A  <_  0 ) )
5553, 543anbi23d 1257 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  0  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_  b )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_ 
0 ) ) )
56 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  0  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
5756bibi2d 310 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  0  ->  (
( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph )
) )
5855, 57imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  0  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_ 
b )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_ 
0 )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) ) ) )
5952, 58, 42vtocl2g 2975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_ 
0 )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) ) )
60593adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  -> 
( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) ) )
6160pm2.43i 45 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
624, 61mp3an2 1267 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  -> 
( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
6362bicomd 193 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  -> 
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
64 0re 9047 . . . . 5  |-  0  e.  RR
65 zre 10242 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
66 letric 9130 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
6764, 65, 66sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
6846, 63, 67mpjaodan 762 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
693, 68syl5bbr 251 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( th 
<-> 
[. A  /  x ]. ph ) )
70 zindbi.5 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7170sbcieg 3153 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  ta ) )
7269, 71bitrd 245 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( th 
<->  ta ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   [.wsbc 3121   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    <_ cle 9077   ZZcz 10238
This theorem is referenced by:  jm2.25  26960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239
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