Theorem zmin 6118

Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number.

Assertion

Ref	Expression
zmin	|- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem zmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1452	. . 3 |- {z e. ZZ | A <_ z} = {z e. ZZ | A <_ z}
2	1	uzwo3lem1 6115	. 2 |- (A e. RR -> E!x e. {z e. ZZ | A <_ z}A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y)
3		breq2 2591	. . . . . . 7 |- (z = x -> (A <_ z <-> A <_ x))
4	3	elrab 1877	. . . . . 6 |- (x e. {z e. ZZ | A <_ z} <-> (x e. ZZ /\ A <_ x))
5		breq2 2591	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (A <_ z <-> A <_ y))
6	5	elrab 1877	. . . . . . . . 9 |- (y e. {z e. ZZ | A <_ z} <-> (y e. ZZ /\ A <_ y))
7	6	imbi1i 186	. . . . . . . 8 |- ((y e. {z e. ZZ | A <_ z} -> x <_ y) <-> ((y e. ZZ /\ A <_ y) -> x <_ y))
8		impexp 347	. . . . . . . 8 |- (((y e. ZZ /\ A <_ y) -> x <_ y) <-> (y e. ZZ -> (A <_ y -> x <_ y)))
9	7, 8	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((y e. {z e. ZZ | A <_ z} -> x <_ y) <-> (y e. ZZ -> (A <_ y -> x <_ y)))
10	9	ralbii2 1647	. . . . . 6 |- (A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y <-> A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))
11	4, 10	anbi12i 481	. . . . 5 |- ((x e. {z e. ZZ | A <_ z} /\ A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y) <-> ((x e. ZZ /\ A <_ x) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
12		anass 439	. . . . 5 |- (((x e. ZZ /\ A <_ x) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> (x e. ZZ /\ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))))
13	11, 12	bitr 173	. . . 4 |- ((x e. {z e. ZZ | A <_ z} /\ A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y) <-> (x e. ZZ /\ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))))
14	13	eubii 1364	. . 3 |- (E!x(x e. {z e. ZZ | A <_ z} /\ A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y) <-> E!x(x e. ZZ /\ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))))
15		df-reu 1627	. . 3 |- (E!x e. {z e. ZZ | A <_ z}A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y <-> E!x(x e. {z e. ZZ | A <_ z} /\ A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y))
16		df-reu 1627	. . 3 |- (E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> E!x(x e. ZZ /\ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))))
17	14, 15, 16	3bitr4r 184	. 2 |- (E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> E!x e. {z e. ZZ | A <_ z}A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y)
18	2, 17	sylibr 200	1 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 1105  E!weu 1357  A.wral 1621  E!wreu 1623  {crab 1624   class class class wbr 2587  RRcr 5156   <_ cle 5218  ZZcz 5221

This theorem is referenced by:  zmax 6119  zbtwnre 6120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-n 5824  df-n0 5998  df-z 6034

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