HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem zmulclt 6127
Description: Closure of multiplication of integers.
Assertion
Ref Expression
zmulclt |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M x. N) e. ZZ)
Proof of Theorem zmulclt
StepHypRef Expression
1 nn0mulclt 6070 . . . . . . . . 9 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M x. N) e. NN0)
21orcd 272 . . . . . . . 8 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))
32a1i 8 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
4 axmulrcl 5246 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M x. N) e. RR)
53, 4jctild 599 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
6 mulneg1t 5423 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uM x. N) = -u(M x. N))
7 recnt 5285 . . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> M e. CC)
8 recnt 5285 . . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> N e. CC)
96, 7, 8syl2an 454 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uM x. N) = -u(M x. N))
109eleq1d 1532 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM x. N) e. NN0 <-> -u(M x. N) e. NN0))
11 nn0mulclt 6070 . . . . . . . . 9 |- ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> (-uM x. N) e. NN0)
1210, 11syl5bi 208 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> -u(M x. N) e. NN0))
13 olc 268 . . . . . . . 8 |- (-u(M x. N) e. NN0 -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))
1412, 13syl6 22 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
1514, 4jctild 599 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
16 mulneg2t 5424 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (M x. -uN) = -u(M x. N))
1716, 7, 8syl2an 454 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M x. -uN) = -u(M x. N))
1817eleq1d 1532 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M x. -uN) e. NN0 <-> -u(M x. N) e. NN0))
19 nn0mulclt 6070 . . . . . . . . 9 |- ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (M x. -uN) e. NN0)
2018, 19syl5bi 208 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> -u(M x. N) e. NN0))
2120, 13syl6 22 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
2221, 4jctild 599 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
23 mul2negt 5426 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uM x. -uN) = (M x. N))
2423, 7, 8syl2an 454 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uM x. -uN) = (M x. N))
2524eleq1d 1532 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM x. -uN) e. NN0 <-> (M x. N) e. NN0))
26 nn0mulclt 6070 . . . . . . . . 9 |- ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (-uM x. -uN) e. NN0)
2725, 26syl5bi 208 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (M x. N) e. NN0))
28 orc 269 . . . . . . . 8 |- ((M x. N) e. NN0 -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))
2927, 28syl6 22 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
3029, 4jctild 599 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
315, 15, 22, 30ccased 754 . . . . 5 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
32 elznn0 6096 . . . . 5 |- ((M x. N) e. ZZ <-> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
3331, 32syl6ibr 213 . . . 4 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)) -> (M x. N) e. ZZ))
3433imp 350 . . 3 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ ((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0))) -> (M x. N) e. ZZ)
3534an4s 507 . 2 |- (((M e. RR /\ (M e. NN0 \/ -uM e. NN0)) /\ (N e. RR /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0))) -> (M x. N) e. ZZ)
36 elznn0 6096 . 2 |- (M e. ZZ <-> (M e. RR /\ (M e. NN0 \/ -uM e. NN0)))
37 elznn0 6096 . 2 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)))
3835, 36, 37syl2anb 455 1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M x. N) e. ZZ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205   x. cmul 5211  -ucneg 5265  NN0cn0 5269  ZZcz 5270
This theorem is referenced by:  msqznn 6143  qaddclt 6207  qmulclt 6209  qrecclt 6211  zexpclt 6510  eirrlem2 7331  znnen 7445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083
Copyright terms: Public domain