Theorem zneoOLD 6148

Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
zneoOLD	|- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> -. (2 x. A) = ((2 x. B) + 1))

Proof of Theorem zneoOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 6141	. . . . 5 |- -. (1 / 2) e. ZZ
2		zcnt 6087	. . . . . . 7 |- (B e. ZZ -> B e. CC)
3		2cn 5927	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
4		2ne0 5937	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
5	3, 4	reccl 5682	. . . . . . . . . 10 |- (1 / 2) e. CC
6		axaddcom 5247	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ (1 / 2) e. CC) -> (B + (1 / 2)) = ((1 / 2) + B))
7	5, 6	mpan2 694	. . . . . . . . 9 |- (B e. CC -> (B + (1 / 2)) = ((1 / 2) + B))
8	7	opreq1d 3960	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> ((B + (1 / 2)) - B) = (((1 / 2) + B) - B))
9		pncant 5369	. . . . . . . . 9 |- (((1 / 2) e. CC /\ B e. CC) -> (((1 / 2) + B) - B) = (1 / 2))
10	5, 9	mpan 693	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (((1 / 2) + B) - B) = (1 / 2))
11	8, 10	eqtrd 1499	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> ((B + (1 / 2)) - B) = (1 / 2))
12	2, 11	syl 10	. . . . . 6 |- (B e. ZZ -> ((B + (1 / 2)) - B) = (1 / 2))
13	12	eleq1d 1532	. . . . 5 |- (B e. ZZ -> (((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ <-> (1 / 2) e. ZZ))
14	1, 13	mtbiri 715	. . . 4 |- (B e. ZZ -> -. ((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ)
15		zsubclt 6115	. . . . 5 |- (((B + (1 / 2)) e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ)
16	15	expcom 374	. . . 4 |- (B e. ZZ -> ((B + (1 / 2)) e. ZZ -> ((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ))
17	14, 16	mtod 108	. . 3 |- (B e. ZZ -> -. (B + (1 / 2)) e. ZZ)
18	17	adantl 388	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> -. (B + (1 / 2)) e. ZZ)
19		divcan3t 5718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((2 e. CC /\ A e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((2 x. A) / 2) = A)
20	3, 4, 19	mp3an13 904	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> ((2 x. A) / 2) = A)
21		axmulcl 5245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((2 e. CC /\ B e. CC) -> (2 x. B) e. CC)
22	3, 21	mpan 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. CC -> (2 x. B) e. CC)
23		ax1cn 5241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
24		divdirt 5713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((2 x. B) e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC) /\ 2 =/= 0) -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
25	4, 24	mpan2 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((2 x. B) e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC) -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
26	23, 3, 25	mp3an23 905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2 x. B) e. CC -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
27	22, 26	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. CC -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
28		divcan3t 5718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((2 e. CC /\ B e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((2 x. B) / 2) = B)
29	3, 4, 28	mp3an13 904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. CC -> ((2 x. B) / 2) = B)
30	29	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. CC -> (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)) = (B + (1 / 2)))
31	27, 30	eqtrd 1499	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. CC -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (B + (1 / 2)))
32	20, 31	eqeqan12d 1482	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((2 x. A) / 2) = (((2 x. B) + 1) / 2) <-> A = (B + (1 / 2))))
33		opreq1 3953	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> ((2 x. A) / 2) = (((2 x. B) + 1) / 2))
34	32, 33	syl5bi 208	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> A = (B + (1 / 2))))
35		zcnt 6087	. . . . . . . . . 10 |- (A e. ZZ -> A e. CC)
36	34, 35, 2	syl2an 454	. . . . . . . . 9 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> A = (B + (1 / 2))))
37	36	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((A e. ZZ /\ B e. ZZ) /\ (2 x. A) = ((2 x. B) + 1)) -> A = (B + (1 / 2)))
38	37	eleq1d 1532	. . . . . . 7 |- (((A e. ZZ /\ B e. ZZ) /\ (2 x. A) = ((2 x. B) + 1)) -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ))
39	38	exp31 376	. . . . . 6 |- (A e. ZZ -> (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ))))
40	39	com3l 34	. . . . 5 |- (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (A e. ZZ -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ))))
41		ibib 588	. . . . 5 |- ((A e. ZZ -> (B + (1 / 2)) e. ZZ) <-> (A e. ZZ -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ)))
42	40, 41	syl6ibr 213	. . . 4 |- (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (A e. ZZ -> (B + (1 / 2)) e. ZZ)))
43	42	com3r 35	. . 3 |- (A e. ZZ -> (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (B + (1 / 2)) e. ZZ)))
44	43	imp 350	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (B + (1 / 2)) e. ZZ))
45	18, 44	mtod 108	1 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> -. (2 x. A) = ((2 x. B) + 1))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266  ZZcz 5270  2c2 5908

This theorem is referenced by:  znnenlemOLD 7444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083

Copyright terms: Public domain