MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Structured version   Unicode version

Theorem znnen 12804
Description: The set of integers and the set of natural numbers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen  |-  ZZ  ~~  NN

Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 7593 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 nnenom 11311 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 7149 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 7825 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 654 . . . . 5  |-  NN  e.  dom  card
6 xpnum 7830 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( NN  X.  NN )  e.  dom  card )
75, 5, 6mp2an 654 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  e. 
dom  card
8 subf 9299 . . . . . . 7  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
9 ffun 5585 . . . . . . 7  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  Fun  -  )
108, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  -
11 nnsscn 9997 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  CC
12 xpss12 4973 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  NN  C_  CC )  ->  ( NN  X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC ) )
1311, 11, 12mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC )
148fdmi 5588 . . . . . . 7  |-  dom  -  =  ( CC  X.  CC )
1513, 14sseqtr4i 3373 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  dom  -
16 fores 5654 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  -  /\  ( NN  X.  NN )  C_  dom  -  )  ->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) ) )
1710, 15, 16mp2an 654 . . . . 5  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) )
18 dfz2 10291 . . . . . 6  |-  ZZ  =  (  -  " ( NN  X.  NN ) )
19 foeq3 5643 . . . . . 6  |-  ( ZZ  =  (  -  "
( NN  X.  NN ) )  ->  (
(  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) )
2117, 20mpbir 201 . . . 4  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> ZZ
22 fodomnum 7930 . . . 4  |-  ( ( NN  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  ->  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN ) ) )
237, 21, 22mp2 9 . . 3  |-  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN )
24 xpnnen 12800 . . 3  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
25 domentr 7158 . . 3  |-  ( ( ZZ  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ZZ  ~<_  NN )
2623, 24, 25mp2an 654 . 2  |-  ZZ  ~<_  NN
27 zex 10283 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
28 nnssz 10293 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
29 ssdomg 7145 . . 3  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( NN  C_  ZZ  ->  NN  ~<_  ZZ ) )
3027, 28, 29mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  ZZ
31 sbth 7219 . 2  |-  ( ( ZZ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  ZZ )  ->  ZZ  ~~  NN )
3226, 30, 31mp2an 654 1  |-  ZZ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   Oncon0 4573   omcom 4837    X. cxp 4868   dom cdm 4870    |` cres 4872   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442   -onto->wfo 5444    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099   cardccrd 7814   CCcc 8980    - cmin 9283   NNcn 9992   ZZcz 10274
This theorem is referenced by:  qnnen  12805  odinf  15191  odhash  15200  cygctb  15493  iscmet3  19238  dyadmbl  19484  mbfsup  19548  dya2iocct  24622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481
  Copyright terms: Public domain W3C validator