MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Unicode version

Theorem znnen 12454
Description: The set of integers and the set of natural numbers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen  |-  ZZ  ~~  NN

Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 7315 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 nnenom 11009 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 6879 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 7547 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 656 . . . . 5  |-  NN  e.  dom  card
6 xpnum 7552 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( NN  X.  NN )  e.  dom  card )
75, 5, 6mp2an 656 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  e. 
dom  card
8 subf 9021 . . . . . . 7  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
9 ffun 5329 . . . . . . 7  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  Fun  -  )
108, 9ax-mp 10 . . . . . 6  |-  Fun  -
11 nnsscn 9719 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  CC
12 xpss12 4780 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  NN  C_  CC )  ->  ( NN  X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC ) )
1311, 11, 12mp2an 656 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC )
148fdmi 5332 . . . . . . 7  |-  dom  -  =  ( CC  X.  CC )
1513, 14sseqtr4i 3186 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  dom  -
16 fores 5398 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  -  /\  ( NN  X.  NN )  C_  dom  -  )  ->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) ) )
1710, 15, 16mp2an 656 . . . . 5  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) )
18 dfz2 10009 . . . . . 6  |-  ZZ  =  (  -  " ( NN  X.  NN ) )
19 foeq3 5387 . . . . . 6  |-  ( ZZ  =  (  -  "
( NN  X.  NN ) )  ->  (
(  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) ) )
2018, 19ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) )
2117, 20mpbir 202 . . . 4  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> ZZ
22 fodomnum 7652 . . . 4  |-  ( ( NN  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  ->  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN ) ) )
237, 21, 22mp2 19 . . 3  |-  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN )
24 xpnnen 12450 . . 3  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
25 domentr 6888 . . 3  |-  ( ( ZZ  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ZZ  ~<_  NN )
2623, 24, 25mp2an 656 . 2  |-  ZZ  ~<_  NN
27 zex 10001 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
28 nnssz 10011 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
29 ssdomg 6875 . . 3  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( NN  C_  ZZ  ->  NN  ~<_  ZZ ) )
3027, 28, 29mp2 19 . 2  |-  NN  ~<_  ZZ
31 sbth 6949 . 2  |-  ( ( ZZ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  ZZ )  ->  ZZ  ~~  NN )
3226, 30, 31mp2an 656 1  |-  ZZ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   class class class wbr 3997   Oncon0 4364   omcom 4628    X. cxp 4659   dom cdm 4661    |` cres 4663   "cima 4664   Fun wfun 4667   -->wf 4669   -onto->wfo 4671    ~~ cen 6828    ~<_ cdom 6829   cardccrd 7536   CCcc 8703    - cmin 9005   NNcn 9714   ZZcz 9992
This theorem is referenced by:  qnnen  12455  odinf  14839  odhash  14848  cygctb  15141  iscmet3  18682  dyadmbl  18918  mbfsup  18982
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199
  Copyright terms: Public domain W3C validator