Theorem znnenlem 7501

Description: Lemma for znnen 7502.

Assertion

Ref	Expression
znnenlem	|- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (x = y <-> (2 x. x) = ((-u2 x. y) + 1)))

Proof of Theorem znnenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.1 676	. . 3 |- ((x =/= y /\ (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1)) -> (x =/= y <-> (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1)))
2		ltnet 5516	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ x e. RR /\ y < x) -> x =/= y)
3		0re 5440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
4		ltnlet 5511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ 0 e. RR) -> (y < 0 <-> -. 0 <_ y))
5	3, 4	mpan2 696	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. RR -> (y < 0 <-> -. 0 <_ y))
6	5	adantr 389	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y < 0 <-> -. 0 <_ y))
7	6	anbi1d 617	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((y < 0 /\ 0 <_ x) <-> (-. 0 <_ y /\ 0 <_ x)))
8		ltletrt 5524	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. RR /\ 0 e. RR /\ x e. RR) -> ((y < 0 /\ 0 <_ x) -> y < x))
9	3, 8	mp3an2 904	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((y < 0 /\ 0 <_ x) -> y < x))
10	7, 9	sylbird 205	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((-. 0 <_ y /\ 0 <_ x) -> y < x))
11	10	ancomsd 437	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) -> y < x))
12	11	3impia 830	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ x e. RR /\ (0 <_ x /\ -. 0 <_ y)) -> y < x)
13	2, 12	syld3an3 870	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ x e. RR /\ (0 <_ x /\ -. 0 <_ y)) -> x =/= y)
14	13	3com12 837	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ y e. RR /\ (0 <_ x /\ -. 0 <_ y)) -> x =/= y)
15	14	3expia 835	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) -> x =/= y))
16		zret 6139	. . . . 5 |- (x e. ZZ -> x e. RR)
17		zret 6139	. . . . 5 |- (y e. ZZ -> y e. RR)
18	15, 16, 17	syl2an 454	. . . 4 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> ((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) -> x =/= y))
19	18	impcom 351	. . 3 |- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> x =/= y)
20		zneo 6200	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ -uy e. ZZ) -> (2 x. x) =/= ((2 x. -uy) + 1))
21		znegclt 6163	. . . . . 6 |- (y e. ZZ -> -uy e. ZZ)
22	20, 21	sylan2 451	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (2 x. x) =/= ((2 x. -uy) + 1))
23		zcnt 6140	. . . . . . . . 9 |- (y e. ZZ -> y e. CC)
24		2cn 5980	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
25		mulneg12t 5453	. . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ y e. CC) -> (-u2 x. y) = (2 x. -uy))
26	24, 25	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- (y e. CC -> (-u2 x. y) = (2 x. -uy))
27	23, 26	syl 10	. . . . . . . 8 |- (y e. ZZ -> (-u2 x. y) = (2 x. -uy))
28	27	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (-u2 x. y) = (2 x. -uy))
29	28	opreq1d 3975	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> ((-u2 x. y) + 1) = ((2 x. -uy) + 1))
30	29	neeq2d 1595	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> ((2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1) <-> (2 x. x) =/= ((2 x. -uy) + 1)))
31	22, 30	mpbird 196	. . . 4 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1))
32	31	adantl 388	. . 3 |- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1))
33	1, 19, 32	sylanc 471	. 2 |- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (x =/= y <-> (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1)))
34	33	necon4bid 1630	1 |- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (x = y <-> (2 x. x) = ((-u2 x. y) + 1)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239  -ucneg 5293   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  2c2 5961

This theorem is referenced by:  znnen 7502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136

Copyright terms: Public domain