Theorem znq 6259

Description: The ratio of an integer and a natural number is a rational number.

Assertion

Ref	Expression
znq	|- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (A / B) e. QQ)

Proof of Theorem znq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . 3 |- (A / B) = (A / B)
2		rcla4eopr 3996	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN /\ (A / B) = (A / B)) -> E.x e. ZZ E.y e. NN (A / B) = (x / y))
3	1, 2	mp3an3 907	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> E.x e. ZZ E.y e. NN (A / B) = (x / y))
4		elq 6258	. 2 |- ((A / B) e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN (A / B) = (x / y))
5	3, 4	sylibr 200	1 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (A / B) e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  (class class class)co 3969   / cdiv 5306  NNcn 5308  ZZcz 5310  QQcq 5311

This theorem is referenced by:  nnrecqt 6277  qbtwnre 6279  nthruc 6746

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204  df-opr 3971  df-q 6257

Copyright terms: Public domain