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Theorem znrrg 16846
Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for  N  =  0, where all nonzero integers are regular, but only  pm 1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znunit.u  |-  U  =  (Unit `  Y )
znrrg.e  |-  E  =  (RLReg `  Y )
Assertion
Ref Expression
znrrg  |-  ( N  e.  NN  ->  E  =  U )

Proof of Theorem znrrg
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10228 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 znchr.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
4 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
52, 3, 4znzrhfo 16828 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
61, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
7 znrrg.e . . . . . . . 8  |-  E  =  (RLReg `  Y )
87, 3rrgss 16352 . . . . . . 7  |-  E  C_  ( Base `  Y )
98sseli 3344 . . . . . 6  |-  ( x  e.  E  ->  x  e.  ( Base `  Y
) )
10 foelrn 5888 . . . . . 6  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  x  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) )
116, 9, 10syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  E )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) )
1211ex 424 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  E  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) ) )
13 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1413ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  CC )
15 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  n  e.  ZZ )
16 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  ZZ )
18 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
1918ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  =/=  0
)
20 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
2120necon3ai 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( n  =  0  /\  N  =  0
) )
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  -.  ( n  =  0  /\  N  =  0 ) )
23 gcdn0cl 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( n  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( n  gcd  N )  e.  NN )
2415, 17, 22, 23syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  NN )
2524nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  CC )
2624nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  =/=  0 )
2714, 25, 26divcan2d 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  N )
28 gcddvds 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  /\  ( n  gcd  N ) 
||  N ) )
2915, 17, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  /\  ( n  gcd  N )  ||  N ) )
3029simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  ||  n )
31 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  gcd  N )  e.  NN  ->  (
n  gcd  N )  e.  ZZ )
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  ZZ )
3329simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  ||  N )
34 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  NN )
35 nndivdvds 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  gcd  N )  e.  NN )  -> 
( ( n  gcd  N )  ||  N  <->  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  NN ) )
3634, 24, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  N 
<->  ( N  /  (
n  gcd  N )
)  e.  NN ) )
3733, 36mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  e.  NN )
38 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  NN  ->  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  ZZ )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  e.  ZZ )
40 dvdsmulc 12877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
4132, 15, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
4230, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
4327, 42eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
44 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )
451ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  NN0 )
4645, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
47 fof 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> ( Base `  Y
)  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
4948, 39ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
50 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
51 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
527, 3, 50, 51rrgeq0i 16349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  ( 0g `  Y ) ) )
5344, 49, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  Y
) `  n )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  =  ( 0g `  Y
) ) )
542zncrng 16825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  Y  e.  CRing )
56 crngrng 15674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  Y  e.  Ring )
5857ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  Y  e.  Ring )
59 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
6059, 4zrhrhm 16793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
6158, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
62 zsubrg 16752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
6359subrgbas 15877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
65 zex 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ZZ  e.  _V
66 cnfldmul 16709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x.  =  ( .r ` fld )
6759, 66ressmulr 13582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) ) )
6865, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) )
6964, 68, 50rhmmul 15828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  /\  n  e.  ZZ  /\  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
7061, 15, 39, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
7170eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  n )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y ) ) )
7215, 39zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  e.  ZZ )
732, 4, 51zndvds0 16831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
7445, 72, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
7571, 74bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  Y
) `  n )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
762, 4, 51zndvds0 16831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  (
n  gcd  N )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
7745, 39, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
7853, 75, 773imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  ||  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  ->  N  ||  ( N  / 
( n  gcd  N
) ) ) )
7943, 78mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  ||  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )
8014, 25, 26divcan1d 9791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  (
n  gcd  N )
)  =  N )
8137nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  e.  CC )
8281mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  1 )  =  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )
8379, 80, 823brtr4d 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  (
n  gcd  N )
)  ||  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  1 ) )
84 1z 10311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  1  e.  ZZ )
8637nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  =/=  0
)
87 dvdscmulr 12878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  (
( N  /  (
n  gcd  N )
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  (
n  gcd  N )
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  /  (
n  gcd  N )
)  x.  ( n  gcd  N ) ) 
||  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  1 )  <->  ( n  gcd  N )  ||  1 ) )
8832, 85, 39, 86, 87syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  ( n  gcd  N ) )  ||  (
( N  /  (
n  gcd  N )
)  x.  1 )  <-> 
( n  gcd  N
)  ||  1 ) )
8983, 88mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  ||  1 )
9015, 17gcdcld 13018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  NN0 )
91 dvds1 12898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  gcd  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  gcd  N ) 
||  1  <->  ( n  gcd  N )  =  1 ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  1 
<->  ( n  gcd  N
)  =  1 ) )
9389, 92mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  =  1 )
94 znunit.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  (Unit `  Y )
952, 94, 4znunit 16844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U  <->  ( n  gcd  N )  =  1 ) )
9645, 15, 95syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n )  e.  U  <->  ( n  gcd  N )  =  1 ) )
9793, 96mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U )
9897ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E  -> 
( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U ) )
99 eleq1 2496 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  ->  ( x  e.  E  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E ) )
100 eleq1 2496 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  ->  ( x  e.  U  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U ) )
10199, 100imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  ->  ( (
x  e.  E  ->  x  e.  U )  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E  -> 
( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U ) ) )
10298, 101syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  n )  ->  ( x  e.  E  ->  x  e.  U ) ) )
103102rexlimdva 2830 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n )  ->  (
x  e.  E  ->  x  e.  U )
) )
104103com23 74 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  E  -> 
( E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  n )  ->  x  e.  U ) ) )
10512, 104mpdd 38 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  E  ->  x  e.  U )
)
106105ssrdv 3354 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  E  C_  U )
1077, 94unitrrg 16353 . . 3  |-  ( Y  e.  Ring  ->  U  C_  E )
10857, 107syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  U  C_  E )
109106, 108eqssd 3365 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282    || cdivides 12852    gcd cgcd 13006   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   .rcmulr 13530   0gc0g 13723   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661  Unitcui 15744   RingHom crh 15817  SubRingcsubrg 15864  RLRegcrlreg 16339  ℂfldccnfld 16703   ZRHomczrh 16778  ℤ/nczn 16781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-rlreg 16343  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785
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