Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znrrg Structured version   Unicode version

Theorem znrrg 16846
 Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for , where all nonzero integers are regular, but only are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y ℤ/n
znunit.u Unit
znrrg.e RLReg
Assertion
Ref Expression
znrrg

Proof of Theorem znrrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10228 . . . . . . 7
2 znchr.y . . . . . . . 8 ℤ/n
3 eqid 2436 . . . . . . . 8
4 eqid 2436 . . . . . . . 8 RHom RHom
52, 3, 4znzrhfo 16828 . . . . . . 7 RHom
61, 5syl 16 . . . . . 6 RHom
7 znrrg.e . . . . . . . 8 RLReg
87, 3rrgss 16352 . . . . . . 7
98sseli 3344 . . . . . 6
10 foelrn 5888 . . . . . 6 RHom RHom
116, 9, 10syl2an 464 . . . . 5 RHom
1211ex 424 . . . 4 RHom
13 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom
15 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RHom
16 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RHom
18 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1918ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 RHom
20 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2120necon3ai 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RHom
23 gcdn0cl 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2415, 17, 22, 23syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RHom
2524nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom
2624nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom
2714, 25, 26divcan2d 9792 . . . . . . . . . . . . . 14 RHom
28 gcddvds 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2915, 17, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RHom
3029simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom
31 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RHom
3329simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 RHom
34 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 RHom
35 nndivdvds 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3634, 24, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 RHom
3733, 36mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RHom
38 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RHom
40 dvdsmulc 12877 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4132, 15, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom
4230, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 RHom
4327, 42eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . 13 RHom
44 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom RHom
451ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 RHom
4645, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RHom RHom
47 fof 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RHom RHom
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RHom RHom
4948, 39ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom RHom
50 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
527, 3, 50, 51rrgeq0i 16349 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom RHom RHomRHom RHom
5344, 49, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 RHom RHomRHom RHom
542zncrng 16825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
56 crngrng 15674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 RHom
59 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 flds flds
6059, 4zrhrhm 16793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 RHom flds RingHom
6158, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RHom RHom flds RingHom
62 zsubrg 16752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SubRingfld
6359subrgbas 15877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SubRingfld flds
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 flds
65 zex 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66 cnfldmul 16709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 fld
6759, 66ressmulr 13582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 flds
6865, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 flds
6964, 68, 50rhmmul 15828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RHom flds RingHom RHom RHomRHom
7061, 15, 39, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RHom RHom RHomRHom
7170eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom RHom RHomRHom
7215, 39zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RHom
732, 4, 51zndvds0 16831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RHom
7445, 72, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom RHom
7571, 74bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . 14 RHom RHomRHom
762, 4, 51zndvds0 16831 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom
7745, 39, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 RHom RHom
7853, 75, 773imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . 13 RHom
7943, 78mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 RHom
8014, 25, 26divcan1d 9791 . . . . . . . . . . . 12 RHom
8137nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . 13 RHom
8281mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . 12 RHom
8379, 80, 823brtr4d 4242 . . . . . . . . . . 11 RHom
84 1z 10311 . . . . . . . . . . . . 13
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 RHom
8637nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . 12 RHom
87 dvdscmulr 12878 . . . . . . . . . . . 12
8832, 85, 39, 86, 87syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11 RHom
8983, 88mpbid 202 . . . . . . . . . 10 RHom
9015, 17gcdcld 13018 . . . . . . . . . . 11 RHom
91 dvds1 12898 . . . . . . . . . . 11
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . 10 RHom
9389, 92mpbid 202 . . . . . . . . 9 RHom
94 znunit.u . . . . . . . . . . 11 Unit
952, 94, 4znunit 16844 . . . . . . . . . 10 RHom
9645, 15, 95syl2anc 643 . . . . . . . . 9 RHom RHom
9793, 96mpbird 224 . . . . . . . 8 RHom RHom
9897ex 424 . . . . . . 7 RHom RHom
99 eleq1 2496 . . . . . . . 8 RHom RHom
100 eleq1 2496 . . . . . . . 8 RHom RHom
10199, 100imbi12d 312 . . . . . . 7 RHom RHom RHom
10298, 101syl5ibrcom 214 . . . . . 6 RHom
103102rexlimdva 2830 . . . . 5 RHom
104103com23 74 . . . 4 RHom
10512, 104mpdd 38 . . 3
106105ssrdv 3354 . 2
1077, 94unitrrg 16353 . . 3
10857, 107syl 16 . 2
109106, 108eqssd 3365 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706  cvv 2956   wss 3320   class class class wbr 4212  wf 5450  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995   cdiv 9677  cn 10000  cn0 10221  cz 10282   cdivides 12852   cgcd 13006  cbs 13469   ↾s cress 13470  cmulr 13530  c0g 13723  crg 15660  ccrg 15661  Unitcui 15744   RingHom crh 15817  SubRingcsubrg 15864  RLRegcrlreg 16339  ℂfldccnfld 16703  RHomczrh 16778  ℤ/nℤczn 16781 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-rlreg 16343  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785
 Copyright terms: Public domain W3C validator