HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem zorn 6608
Description: Zorn's Lemma. If the union of every chain (with respect to inclusion) in a set belongs to the set, then the set contains a maximal element. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 6M of [Enderton] p. 151. See zorn2 6607 for a version with general partial orderings.
Hypothesis
Ref Expression
zorn2.1 |- A e. _V
Assertion
Ref Expression
zorn |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem zorn
StepHypRef Expression
1 pssirr 2893 . . . . . . . 8 |- -. u C. u
2 zornlem 6606 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}u <-> u C. u)
31, 2mtbir 340 . . . . . . 7 |- -. u{<.w, v>. | w C. v}u
4 zornlem 6606 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}y <-> u C. y)
5 zornlem 6606 . . . . . . . 8 |- (y{<.w, v>. | w C. v}x <-> y C. x)
6 psstr 2897 . . . . . . . . 9 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u C. x)
7 zornlem 6606 . . . . . . . . 9 |- (u{<.w, v>. | w C. v}x <-> u C. x)
86, 7sylibr 235 . . . . . . . 8 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
94, 5, 8syl2anb 520 . . . . . . 7 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
103, 9pm3.2i 494 . . . . . 6 |- (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
1110a1i 9 . . . . 5 |- ((u e. A /\ y e. A /\ x e. A) -> (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1211rgen3 2376 . . . 4 |- A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
13 df-po 3753 . . . 4 |- ({<.w, v>. | w C. v} Po A <-> A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1412, 13mpbir 232 . . 3 |- {<.w, v>. | w C. v} Po A
15 df-so 3765 . . . . . . . 8 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z <-> ({<.w, v>. | w C. v} Po z /\ A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x)))
1615simprbi 504 . . . . . . 7 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x))
17 zornlem 6606 . . . . . . . . . 10 |- (x{<.w, v>. | w C. v}y <-> x C. y)
18 biid 267 . . . . . . . . . 10 |- (x = y <-> x = y)
1917, 18, 53orbi123i 1217 . . . . . . . . 9 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
20 sspsstri 2895 . . . . . . . . 9 |- ((x C_ y \/ y C_ x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
2119, 20bitr4i 283 . . . . . . . 8 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C_ y \/ y C_ x))
22212ralbii 2317 . . . . . . 7 |- (A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2316, 22sylib 215 . . . . . 6 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2423anim2i 624 . . . . 5 |- ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> (z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)))
25 risset 2333 . . . . . 6 |- (U.z e. A <-> E.x e. A x = U.z)
26 eqimss2 2856 . . . . . . . . 9 |- (x = U.z -> U.z C_ x)
27 unissb 3375 . . . . . . . . 9 |- (U.z C_ x <-> A.u e. z u C_ x)
2826, 27sylib 215 . . . . . . . 8 |- (x = U.z -> A.u e. z u C_ x)
297orbi1i 576 . . . . . . . . . 10 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> (u C. x \/ u = x))
30 sspss 2892 . . . . . . . . . 10 |- (u C_ x <-> (u C. x \/ u = x))
3129, 30bitr4i 283 . . . . . . . . 9 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> u C_ x)
3231ralbii 2315 . . . . . . . 8 |- (A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> A.u e. z u C_ x)
3328, 32sylibr 235 . . . . . . 7 |- (x = U.z -> A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3433reximi 2386 . . . . . 6 |- (E.x e. A x = U.z -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3525, 34sylbi 214 . . . . 5 |- (U.z e. A -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3624, 35imim12i 54 . . . 4 |- (((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
3736alimi 1508 . . 3 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
38 zorn2.1 . . . 4 |- A e. _V
3938zorn2 6607 . . 3 |- (({<.w, v>. | w C. v} Po A /\ A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4014, 37, 39sylancr 722 . 2 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4117notbii 336 . . . 4 |- (-. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> -. x C. y)
4241ralbii 2315 . . 3 |- (A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> A.y e. A -. x C. y)
4342rexbii 2316 . 2 |- (E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
4440, 43sylib 215 1 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 411   /\ wa 412   \/ w3o 1017   /\ w3a 1018  A.wal 1496   = wceq 1573   e. wcel 1575  A.wral 2293  E.wrex 2294  _Vcvv 2482   C_ wss 2784   C. wpss 2785  U.cuni 3347   class class class wbr 3492  {copab 3550   Po wpo 3751   Or wor 3752
This theorem is referenced by:  zornn0 6609  alexsublem2 16335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1497  ax-6 1498  ax-7 1499  ax-gen 1500  ax-8 1577  ax-10 1578  ax-11 1579  ax-12 1580  ax-13 1581  ax-14 1582  ax-17 1589  ax-9 1603  ax-4 1609  ax-16 1786  ax-ext 2057  ax-rep 3582  ax-sep 3592  ax-nul 3602  ax-pow 3638  ax-pr 3662  ax-un 3930  ax-ac 6551
This theorem depends on definitions:  df-bi 204  df-or 413  df-an 414  df-3or 1019  df-3an 1020  df-ex 1502  df-sb 1748  df-eu 1975  df-mo 1976  df-clab 2063  df-cleq 2068  df-clel 2071  df-ne 2203  df-ral 2297  df-rex 2298  df-reu 2299  df-rab 2300  df-v 2484  df-sbc 2654  df-csb 2728  df-dif 2787  df-un 2789  df-in 2791  df-ss 2793  df-pss 2795  df-nul 3049  df-pw 3205  df-sn 3220  df-pr 3221  df-tp 3223  df-op 3224  df-uni 3348  df-int 3382  df-iun 3420  df-br 3493  df-opab 3551  df-tr 3566  df-eprel 3745  df-id 3748  df-po 3753  df-so 3765  df-fr 3783  df-we 3799  df-ord 3815  df-on 3816  df-suc 3818  df-xp 4134  df-rel 4135  df-cnv 4136  df-co 4137  df-dm 4138  df-rn 4139  df-res 4140  df-ima 4141  df-fun 4142  df-fn 4143  df-f 4144  df-f1 4145  df-fo 4146  df-f1o 4147  df-fv 4148  df-iso 4149  df-en 5735
Copyright terms: Public domain