HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem zorn 6491
Description: Zorn's Lemma. If the union of every chain (with respect to inclusion) in a set belongs to the set, then the set contains a maximal element. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 6M of [Enderton] p. 151. See zorn2 6490 for a version with general partial orderings.
Hypothesis
Ref Expression
zorn2.1 |- A e. _V
Assertion
Ref Expression
zorn |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem zorn
StepHypRef Expression
1 pssirr 2745 . . . . . . . 8 |- -. u C. u
2 zornlem 6489 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}u <-> u C. u)
31, 2mtbir 291 . . . . . . 7 |- -. u{<.w, v>. | w C. v}u
4 zornlem 6489 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}y <-> u C. y)
5 zornlem 6489 . . . . . . . 8 |- (y{<.w, v>. | w C. v}x <-> y C. x)
6 psstr 2749 . . . . . . . . 9 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u C. x)
7 zornlem 6489 . . . . . . . . 9 |- (u{<.w, v>. | w C. v}x <-> u C. x)
86, 7sylibr 202 . . . . . . . 8 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
94, 5, 8syl2anb 462 . . . . . . 7 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
103, 9pm3.2i 437 . . . . . 6 |- (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
1110a1i 10 . . . . 5 |- ((u e. A /\ y e. A /\ x e. A) -> (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1211rgen3 2228 . . . 4 |- A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
13 df-po 3612 . . . 4 |- ({<.w, v>. | w C. v} Po A <-> A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1412, 13mpbir 199 . . 3 |- {<.w, v>. | w C. v} Po A
15 df-so 3626 . . . . . . . 8 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z <-> ({<.w, v>. | w C. v} Po z /\ A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x)))
1615simprbi 447 . . . . . . 7 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x))
17 zornlem 6489 . . . . . . . . . 10 |- (x{<.w, v>. | w C. v}y <-> x C. y)
18 biid 227 . . . . . . . . . 10 |- (x = y <-> x = y)
1917, 18, 53orbi123i 1116 . . . . . . . . 9 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
20 sspsstri 2747 . . . . . . . . 9 |- ((x C_ y \/ y C_ x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
2119, 20bitr4i 243 . . . . . . . 8 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C_ y \/ y C_ x))
22212ralbii 2165 . . . . . . 7 |- (A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2316, 22sylib 186 . . . . . 6 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2423anim2i 548 . . . . 5 |- ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> (z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)))
25 risset 2181 . . . . . 6 |- (U.z e. A <-> E.x e. A x = U.z)
26 eqimss2 2708 . . . . . . . . 9 |- (x = U.z -> U.z C_ x)
27 unissb 3237 . . . . . . . . 9 |- (U.z C_ x <-> A.u e. z u C_ x)
2826, 27sylib 186 . . . . . . . 8 |- (x = U.z -> A.u e. z u C_ x)
297orbi1i 503 . . . . . . . . . 10 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> (u C. x \/ u = x))
30 sspss 2744 . . . . . . . . . 10 |- (u C_ x <-> (u C. x \/ u = x))
3129, 30bitr4i 243 . . . . . . . . 9 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> u C_ x)
3231ralbii 2163 . . . . . . . 8 |- (A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> A.u e. z u C_ x)
3328, 32sylibr 202 . . . . . . 7 |- (x = U.z -> A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3433reximi 2238 . . . . . 6 |- (E.x e. A x = U.z -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3525, 34sylbi 185 . . . . 5 |- (U.z e. A -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3624, 35imim12i 52 . . . 4 |- (((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
3736alimi 1356 . . 3 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
38 zorn2.1 . . . 4 |- A e. _V
3938zorn2 6490 . . 3 |- (({<.w, v>. | w C. v} Po A /\ A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4014, 37, 39sylancr 641 . 2 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4117notbii 288 . . . 4 |- (-. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> -. x C. y)
4241ralbii 2163 . . 3 |- (A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> A.y e. A -. x C. y)
4342rexbii 2164 . 2 |- (E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
4440, 43sylib 186 1 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 356   /\ wa 357   \/ w3o 914   /\ w3a 915  A.wal 1344   = wceq 1428   e. wcel 1430  A.wral 2141  E.wrex 2142  _Vcvv 2337   C_ wss 2636   C. wpss 2637  U.cuni 3209   class class class wbr 3354  {copab 3408   Po wpo 3610   Or wor 3611
This theorem is referenced by:  zornn0 6492  alexsublem2 16866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1345  ax-6 1346  ax-7 1347  ax-gen 1348  ax-8 1432  ax-10 1433  ax-11 1434  ax-12 1435  ax-13 1436  ax-14 1437  ax-17 1444  ax-9 1459  ax-4 1465  ax-16 1643  ax-ext 1914  ax-rep 3440  ax-sep 3450  ax-nul 3459  ax-pow 3495  ax-pr 3519  ax-un 3791  ax-ac 6434
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 916  df-3an 917  df-ex 1350  df-sb 1605  df-eu 1832  df-mo 1833  df-clab 1920  df-cleq 1925  df-clel 1928  df-ne 2052  df-ral 2145  df-rex 2146  df-reu 2147  df-rab 2148  df-v 2339  df-sbc 2504  df-csb 2579  df-dif 2639  df-un 2641  df-in 2643  df-ss 2645  df-pss 2647  df-nul 2901  df-pw 3060  df-sn 3077  df-pr 3078  df-tp 3079  df-op 3080  df-uni 3210  df-int 3244  df-iun 3282  df-br 3355  df-opab 3409  df-tr 3424  df-eprel 3604  df-id 3607  df-po 3612  df-so 3626  df-fr 3645  df-we 3661  df-ord 3677  df-on 3678  df-suc 3680  df-xp 4001  df-rel 4002  df-cnv 4003  df-co 4004  df-dm 4005  df-rn 4006  df-res 4007  df-ima 4008  df-fun 4009  df-fn 4010  df-f 4011  df-f1 4012  df-fo 4013  df-f1o 4014  df-fv 4015  df-iso 4016  df-en 5659
Copyright terms: Public domain