HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem zorn 6484
Description: Zorn's Lemma. If the union of every chain (with respect to inclusion) in a set belongs to the set, then the set contains a maximal element. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 6M of [Enderton] p. 151. See zorn2 6483 for a version with general partial orderings.
Hypothesis
Ref Expression
zorn2.1 |- A e. _V
Assertion
Ref Expression
zorn |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem zorn
StepHypRef Expression
1 pssirr 2771 . . . . . . . 8 |- -. u C. u
2 zornlem 6482 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}u <-> u C. u)
31, 2mtbir 312 . . . . . . 7 |- -. u{<.w, v>. | w C. v}u
4 zornlem 6482 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}y <-> u C. y)
5 zornlem 6482 . . . . . . . 8 |- (y{<.w, v>. | w C. v}x <-> y C. x)
6 psstr 2775 . . . . . . . . 9 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u C. x)
7 zornlem 6482 . . . . . . . . 9 |- (u{<.w, v>. | w C. v}x <-> u C. x)
86, 7sylibr 221 . . . . . . . 8 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
94, 5, 8syl2anb 488 . . . . . . 7 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
103, 9pm3.2i 463 . . . . . 6 |- (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
1110a1i 10 . . . . 5 |- ((u e. A /\ y e. A /\ x e. A) -> (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1211rgen3 2256 . . . 4 |- A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
13 df-po 3634 . . . 4 |- ({<.w, v>. | w C. v} Po A <-> A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1412, 13mpbir 218 . . 3 |- {<.w, v>. | w C. v} Po A
15 df-so 3648 . . . . . . . 8 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z <-> ({<.w, v>. | w C. v} Po z /\ A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x)))
1615simprbi 473 . . . . . . 7 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x))
17 zornlem 6482 . . . . . . . . . 10 |- (x{<.w, v>. | w C. v}y <-> x C. y)
18 biid 246 . . . . . . . . . 10 |- (x = y <-> x = y)
1917, 18, 53orbi123i 1147 . . . . . . . . 9 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
20 sspsstri 2773 . . . . . . . . 9 |- ((x C_ y \/ y C_ x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
2119, 20bitr4i 262 . . . . . . . 8 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C_ y \/ y C_ x))
22212ralbii 2193 . . . . . . 7 |- (A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2316, 22sylib 201 . . . . . 6 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2423anim2i 576 . . . . 5 |- ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> (z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)))
25 risset 2209 . . . . . 6 |- (U.z e. A <-> E.x e. A x = U.z)
26 eqimss2 2734 . . . . . . . . 9 |- (x = U.z -> U.z C_ x)
27 unissb 3261 . . . . . . . . 9 |- (U.z C_ x <-> A.u e. z u C_ x)
2826, 27sylib 201 . . . . . . . 8 |- (x = U.z -> A.u e. z u C_ x)
297orbi1i 529 . . . . . . . . . 10 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> (u C. x \/ u = x))
30 sspss 2770 . . . . . . . . . 10 |- (u C_ x <-> (u C. x \/ u = x))
3129, 30bitr4i 262 . . . . . . . . 9 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> u C_ x)
3231ralbii 2191 . . . . . . . 8 |- (A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> A.u e. z u C_ x)
3328, 32sylibr 221 . . . . . . 7 |- (x = U.z -> A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3433reximi 2266 . . . . . 6 |- (E.x e. A x = U.z -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3525, 34sylbi 200 . . . . 5 |- (U.z e. A -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3624, 35imim12i 55 . . . 4 |- (((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
3736alimi 1387 . . 3 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
38 zorn2.1 . . . 4 |- A e. _V
3938zorn2 6483 . . 3 |- (({<.w, v>. | w C. v} Po A /\ A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4014, 37, 39sylancr 670 . 2 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4117notbii 309 . . . 4 |- (-. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> -. x C. y)
4241ralbii 2191 . . 3 |- (A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> A.y e. A -. x C. y)
4342rexbii 2192 . 2 |- (E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
4440, 43sylib 201 1 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 381   /\ wa 382   \/ w3o 945   /\ w3a 946  A.wal 1375   = wceq 1457   e. wcel 1459  A.wral 2169  E.wrex 2170  _Vcvv 2365   C_ wss 2662   C. wpss 2663  U.cuni 3233   class class class wbr 3378  {copab 3432   Po wpo 3632   Or wor 3633
This theorem is referenced by:  zornn0 6485  alexsublem2 16423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-ext 1942  ax-rep 3464  ax-sep 3474  ax-nul 3483  ax-pow 3519  ax-pr 3543  ax-un 3813  ax-ac 6427
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-csb 2606  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-pss 2673  df-nul 2927  df-pw 3086  df-sn 3101  df-pr 3102  df-tp 3104  df-op 3105  df-uni 3234  df-int 3268  df-iun 3306  df-br 3379  df-opab 3433  df-tr 3448  df-eprel 3626  df-id 3629  df-po 3634  df-so 3648  df-fr 3667  df-we 3683  df-ord 3699  df-on 3700  df-suc 3702  df-xp 4016  df-rel 4017  df-cnv 4018  df-co 4019  df-dm 4020  df-rn 4021  df-res 4022  df-ima 4023  df-fun 4024  df-fn 4025  df-f 4026  df-f1 4027  df-fo 4028  df-f1o 4029  df-fv 4030  df-iso 4031  df-en 5645
Copyright terms: Public domain