HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem zorn 6516
Description: Zorn's Lemma. If the union of every chain (with respect to inclusion) in a set belongs to the set, then the set contains a maximal element. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 6M of [Enderton] p. 151. See zorn2 6515 for a version with general partial orderings.
Hypothesis
Ref Expression
zorn2.1 |- A e. _V
Assertion
Ref Expression
zorn |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem zorn
StepHypRef Expression
1 pssirr 2766 . . . . . . . 8 |- -. u C. u
2 zornlem 6514 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}u <-> u C. u)
31, 2mtbir 307 . . . . . . 7 |- -. u{<.w, v>. | w C. v}u
4 zornlem 6514 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}y <-> u C. y)
5 zornlem 6514 . . . . . . . 8 |- (y{<.w, v>. | w C. v}x <-> y C. x)
6 psstr 2770 . . . . . . . . 9 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u C. x)
7 zornlem 6514 . . . . . . . . 9 |- (u{<.w, v>. | w C. v}x <-> u C. x)
86, 7sylibr 216 . . . . . . . 8 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
94, 5, 8syl2anb 482 . . . . . . 7 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
103, 9pm3.2i 457 . . . . . 6 |- (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
1110a1i 10 . . . . 5 |- ((u e. A /\ y e. A /\ x e. A) -> (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1211rgen3 2249 . . . 4 |- A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
13 df-po 3629 . . . 4 |- ({<.w, v>. | w C. v} Po A <-> A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1412, 13mpbir 213 . . 3 |- {<.w, v>. | w C. v} Po A
15 df-so 3643 . . . . . . . 8 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z <-> ({<.w, v>. | w C. v} Po z /\ A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x)))
1615simprbi 467 . . . . . . 7 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x))
17 zornlem 6514 . . . . . . . . . 10 |- (x{<.w, v>. | w C. v}y <-> x C. y)
18 biid 241 . . . . . . . . . 10 |- (x = y <-> x = y)
1917, 18, 53orbi123i 1138 . . . . . . . . 9 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
20 sspsstri 2768 . . . . . . . . 9 |- ((x C_ y \/ y C_ x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
2119, 20bitr4i 257 . . . . . . . 8 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C_ y \/ y C_ x))
22212ralbii 2186 . . . . . . 7 |- (A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2316, 22sylib 196 . . . . . 6 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2423anim2i 568 . . . . 5 |- ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> (z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)))
25 risset 2202 . . . . . 6 |- (U.z e. A <-> E.x e. A x = U.z)
26 eqimss2 2729 . . . . . . . . 9 |- (x = U.z -> U.z C_ x)
27 unissb 3256 . . . . . . . . 9 |- (U.z C_ x <-> A.u e. z u C_ x)
2826, 27sylib 196 . . . . . . . 8 |- (x = U.z -> A.u e. z u C_ x)
297orbi1i 523 . . . . . . . . . 10 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> (u C. x \/ u = x))
30 sspss 2765 . . . . . . . . . 10 |- (u C_ x <-> (u C. x \/ u = x))
3129, 30bitr4i 257 . . . . . . . . 9 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> u C_ x)
3231ralbii 2184 . . . . . . . 8 |- (A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> A.u e. z u C_ x)
3328, 32sylibr 216 . . . . . . 7 |- (x = U.z -> A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3433reximi 2259 . . . . . 6 |- (E.x e. A x = U.z -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3525, 34sylbi 195 . . . . 5 |- (U.z e. A -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3624, 35imim12i 52 . . . 4 |- (((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
3736alimi 1378 . . 3 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
38 zorn2.1 . . . 4 |- A e. _V
3938zorn2 6515 . . 3 |- (({<.w, v>. | w C. v} Po A /\ A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4014, 37, 39sylancr 661 . 2 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4117notbii 304 . . . 4 |- (-. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> -. x C. y)
4241ralbii 2184 . . 3 |- (A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> A.y e. A -. x C. y)
4342rexbii 2185 . 2 |- (E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
4440, 43sylib 196 1 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 376   /\ wa 377   \/ w3o 936   /\ w3a 937  A.wal 1366   = wceq 1449   e. wcel 1451  A.wral 2162  E.wrex 2163  _Vcvv 2358   C_ wss 2657   C. wpss 2658  U.cuni 3228   class class class wbr 3373  {copab 3427   Po wpo 3627   Or wor 3628
This theorem is referenced by:  zornn0 6517  alexsublem2 16721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1367  ax-6 1368  ax-7 1369  ax-gen 1370  ax-8 1453  ax-10 1454  ax-11 1455  ax-12 1456  ax-13 1457  ax-14 1458  ax-17 1465  ax-9 1480  ax-4 1486  ax-16 1664  ax-ext 1935  ax-rep 3459  ax-sep 3469  ax-nul 3478  ax-pow 3514  ax-pr 3538  ax-un 3808  ax-ac 6459
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 378  df-an 379  df-3or 938  df-3an 939  df-ex 1372  df-sb 1626  df-eu 1853  df-mo 1854  df-clab 1941  df-cleq 1946  df-clel 1949  df-ne 2073  df-ral 2166  df-rex 2167  df-reu 2168  df-rab 2169  df-v 2360  df-sbc 2525  df-csb 2600  df-dif 2660  df-un 2662  df-in 2664  df-ss 2666  df-pss 2668  df-nul 2922  df-pw 3081  df-sn 3096  df-pr 3097  df-tp 3099  df-op 3100  df-uni 3229  df-int 3263  df-iun 3301  df-br 3374  df-opab 3428  df-tr 3443  df-eprel 3621  df-id 3624  df-po 3629  df-so 3643  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-suc 3697  df-xp 4018  df-rel 4019  df-cnv 4020  df-co 4021  df-dm 4022  df-rn 4023  df-res 4024  df-ima 4025  df-fun 4026  df-fn 4027  df-f 4028  df-f1 4029  df-fo 4030  df-f1o 4031  df-fv 4032  df-iso 4033  df-en 5675
Copyright terms: Public domain