HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem zorn 6517
Description: Zorn's Lemma. If the union of every chain (with respect to inclusion) in a set belongs to the set, then the set contains a maximal element. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 6M of [Enderton] p. 151. See zorn2 6516 for a version with general partial orderings.
Hypothesis
Ref Expression
zorn2.1 |- A e. _V
Assertion
Ref Expression
zorn |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem zorn
StepHypRef Expression
1 pssirr 2772 . . . . . . . 8 |- -. u C. u
2 zornlem 6515 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}u <-> u C. u)
31, 2mtbir 312 . . . . . . 7 |- -. u{<.w, v>. | w C. v}u
4 zornlem 6515 . . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}y <-> u C. y)
5 zornlem 6515 . . . . . . . 8 |- (y{<.w, v>. | w C. v}x <-> y C. x)
6 psstr 2776 . . . . . . . . 9 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u C. x)
7 zornlem 6515 . . . . . . . . 9 |- (u{<.w, v>. | w C. v}x <-> u C. x)
86, 7sylibr 221 . . . . . . . 8 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
94, 5, 8syl2anb 488 . . . . . . 7 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
103, 9pm3.2i 463 . . . . . 6 |- (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
1110a1i 10 . . . . 5 |- ((u e. A /\ y e. A /\ x e. A) -> (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1211rgen3 2257 . . . 4 |- A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
13 df-po 3635 . . . 4 |- ({<.w, v>. | w C. v} Po A <-> A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
1412, 13mpbir 218 . . 3 |- {<.w, v>. | w C. v} Po A
15 df-so 3649 . . . . . . . 8 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z <-> ({<.w, v>. | w C. v} Po z /\ A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x)))
1615simprbi 473 . . . . . . 7 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x))
17 zornlem 6515 . . . . . . . . . 10 |- (x{<.w, v>. | w C. v}y <-> x C. y)
18 biid 246 . . . . . . . . . 10 |- (x = y <-> x = y)
1917, 18, 53orbi123i 1147 . . . . . . . . 9 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
20 sspsstri 2774 . . . . . . . . 9 |- ((x C_ y \/ y C_ x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
2119, 20bitr4i 262 . . . . . . . 8 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C_ y \/ y C_ x))
22212ralbii 2194 . . . . . . 7 |- (A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2316, 22sylib 201 . . . . . 6 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
2423anim2i 576 . . . . 5 |- ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> (z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)))
25 risset 2210 . . . . . 6 |- (U.z e. A <-> E.x e. A x = U.z)
26 eqimss2 2735 . . . . . . . . 9 |- (x = U.z -> U.z C_ x)
27 unissb 3262 . . . . . . . . 9 |- (U.z C_ x <-> A.u e. z u C_ x)
2826, 27sylib 201 . . . . . . . 8 |- (x = U.z -> A.u e. z u C_ x)
297orbi1i 529 . . . . . . . . . 10 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> (u C. x \/ u = x))
30 sspss 2771 . . . . . . . . . 10 |- (u C_ x <-> (u C. x \/ u = x))
3129, 30bitr4i 262 . . . . . . . . 9 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> u C_ x)
3231ralbii 2192 . . . . . . . 8 |- (A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> A.u e. z u C_ x)
3328, 32sylibr 221 . . . . . . 7 |- (x = U.z -> A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3433reximi 2267 . . . . . 6 |- (E.x e. A x = U.z -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3525, 34sylbi 200 . . . . 5 |- (U.z e. A -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
3624, 35imim12i 55 . . . 4 |- (((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
3736alimi 1387 . . 3 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
38 zorn2.1 . . . 4 |- A e. _V
3938zorn2 6516 . . 3 |- (({<.w, v>. | w C. v} Po A /\ A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4014, 37, 39sylancr 670 . 2 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
4117notbii 309 . . . 4 |- (-. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> -. x C. y)
4241ralbii 2192 . . 3 |- (A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> A.y e. A -. x C. y)
4342rexbii 2193 . 2 |- (E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
4440, 43sylib 201 1 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 381   /\ wa 382   \/ w3o 945   /\ w3a 946  A.wal 1375   = wceq 1457   e. wcel 1459  A.wral 2170  E.wrex 2171  _Vcvv 2366   C_ wss 2663   C. wpss 2664  U.cuni 3234   class class class wbr 3379  {copab 3433   Po wpo 3633   Or wor 3634
This theorem is referenced by:  zornn0 6518  alexsublem2 16525
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1672  ax-ext 1943  ax-rep 3465  ax-sep 3475  ax-nul 3484  ax-pow 3520  ax-pr 3544  ax-un 3814  ax-ac 6460
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-ex 1381  df-sb 1634  df-eu 1861  df-mo 1862  df-clab 1949  df-cleq 1954  df-clel 1957  df-ne 2081  df-ral 2174  df-rex 2175  df-reu 2176  df-rab 2177  df-v 2368  df-sbc 2533  df-csb 2607  df-dif 2666  df-un 2668  df-in 2670  df-ss 2672  df-pss 2674  df-nul 2928  df-pw 3087  df-sn 3102  df-pr 3103  df-tp 3105  df-op 3106  df-uni 3235  df-int 3269  df-iun 3307  df-br 3380  df-opab 3434  df-tr 3449  df-eprel 3627  df-id 3630  df-po 3635  df-so 3649  df-fr 3668  df-we 3684  df-ord 3700  df-on 3701  df-suc 3703  df-xp 4022  df-rel 4023  df-cnv 4024  df-co 4025  df-dm 4026  df-rn 4027  df-res 4028  df-ima 4029  df-fun 4030  df-fn 4031  df-f 4032  df-f1 4033  df-fo 4034  df-f1o 4035  df-fv 4036  df-iso 4037  df-en 5678
Copyright terms: Public domain