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Theorem zorn2g 8098
Description: Zorn's Lemma of [Monk1] p. 117. This version of zorn2 8101 avoids the Axiom of Choice by assuming that  A is well-orderable. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
zorn2g  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. w ( ( w 
C_  A  /\  R  Or  w )  ->  E. x  e.  A  A. z  e.  w  ( z R x  \/  z  =  x ) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, R    x, A, y, z, w

Proof of Theorem zorn2g
StepHypRef Expression
1 breq1 4000 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  k  ->  (
g q n  <->  k q
n ) )
21notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  k  ->  ( -.  g q n  <->  -.  k
q n ) )
32cbvralv 2739 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q n )
4 breq2 4001 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
k q n  <->  k q
m ) )
54notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( -.  k q n  <->  -.  k
q m ) )
65ralbidv 2538 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q n  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m ) )
73, 6syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  ( A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m ) )
87cbvriotav 6284 . . . . 5  |-  ( iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n )  =  (
iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m )
9 rneq 4892 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  d  ->  ran  h  =  ran  d )
109raleqdv 2717 . . . . . . 7  |-  ( h  =  d  ->  ( A. q  e.  ran  h  q R v  <->  A. q  e.  ran  d  q R v ) )
1110rabbidv 2755 . . . . . 6  |-  ( h  =  d  ->  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  =  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } )
1211raleqdv 2717 . . . . . 6  |-  ( h  =  d  ->  ( A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
1311, 12riotaeqbidv 6275 . . . . 5  |-  ( h  =  d  ->  ( iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m )  =  ( iota_ m  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
148, 13syl5eq 2302 . . . 4  |-  ( h  =  d  ->  ( iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n )  =  ( iota_ m  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
1514cbvmptv 4085 . . 3  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) )  =  ( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
16 recseq 6357 . . 3  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) )  =  ( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ n  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )  = recs ( ( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) ) ) )
1715, 16ax-mp 10 . 2  |- recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )  = recs (
( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) ) )
18 breq1 4000 . . . . 5  |-  ( q  =  s  ->  (
q R v  <->  s R
v ) )
1918cbvralv 2739 . . . 4  |-  ( A. q  e.  ran  d  q R v  <->  A. s  e.  ran  d  s R v )
20 breq2 4001 . . . . 5  |-  ( v  =  r  ->  (
s R v  <->  s R
r ) )
2120ralbidv 2538 . . . 4  |-  ( v  =  r  ->  ( A. s  e.  ran  d  s R v  <->  A. s  e.  ran  d  s R r ) )
2219, 21syl5bb 250 . . 3  |-  ( v  =  r  ->  ( A. q  e.  ran  d  q R v  <->  A. s  e.  ran  d  s R r ) )
2322cbvrabv 2762 . 2  |-  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  =  { r  e.  A  |  A. s  e.  ran  d  s R r }
24 eqid 2258 . 2  |-  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs (
( h  e.  _V  |->  ( iota_ n  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" u ) s R r }  =  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ n  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" u ) s R r }
25 eqid 2258 . 2  |-  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs (
( h  e.  _V  |->  ( iota_ n  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" t ) s R r }  =  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ n  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" t ) s R r }
2617, 23, 24, 25zorn2lem7 8097 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. w ( ( w 
C_  A  /\  R  Or  w )  ->  E. x  e.  A  A. z  e.  w  ( z R x  \/  z  =  x ) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   {crab 2522   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    Po wpo 4284    Or wor 4285   dom cdm 4661   ran crn 4662   "cima 4664   iota_crio 6263  recscrecs 6355   cardccrd 7536
This theorem is referenced by:  zorng  8099  zorn2  8101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-suc 4370  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-en 6832  df-card 7540
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