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Theorem zorn2g 8127
Description: Zorn's Lemma of [Monk1] p. 117. This version of zorn2 8130 avoids the Axiom of Choice by assuming that  A is well-orderable. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
zorn2g  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. w ( ( w 
C_  A  /\  R  Or  w )  ->  E. x  e.  A  A. z  e.  w  ( z R x  \/  z  =  x ) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, y, z, w, R    x, A, y, z, w
Dummy variables  v  u  g  h  t  s  r  q  d  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem zorn2g
StepHypRef Expression
1 breq1 4029 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  k  ->  (
g q n  <->  k q
n ) )
21notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  k  ->  ( -.  g q n  <->  -.  k
q n ) )
32cbvralv 2767 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q n )
4 breq2 4030 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
k q n  <->  k q
m ) )
54notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( -.  k q n  <->  -.  k
q m ) )
65ralbidv 2566 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q n  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m ) )
73, 6syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  ( A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m ) )
87cbvriotav 6313 . . . . 5  |-  ( iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n )  =  (
iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m )
9 rneq 4905 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  d  ->  ran  h  =  ran  d )
109raleqdv 2745 . . . . . . 7  |-  ( h  =  d  ->  ( A. q  e.  ran  h  q R v  <->  A. q  e.  ran  d  q R v ) )
1110rabbidv 2783 . . . . . 6  |-  ( h  =  d  ->  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  =  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } )
1211raleqdv 2745 . . . . . 6  |-  ( h  =  d  ->  ( A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
1311, 12riotaeqbidv 6304 . . . . 5  |-  ( h  =  d  ->  ( iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m )  =  ( iota_ m  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
148, 13syl5eq 2330 . . . 4  |-  ( h  =  d  ->  ( iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n )  =  ( iota_ m  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
1514cbvmptv 4114 . . 3  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) )  =  ( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
16 recseq 6386 . . 3  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) )  =  ( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ n  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )  = recs ( ( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) ) ) )
1715, 16ax-mp 10 . 2  |- recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )  = recs (
( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) ) )
18 breq1 4029 . . . . 5  |-  ( q  =  s  ->  (
q R v  <->  s R
v ) )
1918cbvralv 2767 . . . 4  |-  ( A. q  e.  ran  d  q R v  <->  A. s  e.  ran  d  s R v )
20 breq2 4030 . . . . 5  |-  ( v  =  r  ->  (
s R v  <->  s R
r ) )
2120ralbidv 2566 . . . 4  |-  ( v  =  r  ->  ( A. s  e.  ran  d  s R v  <->  A. s  e.  ran  d  s R r ) )
2219, 21syl5bb 250 . . 3  |-  ( v  =  r  ->  ( A. q  e.  ran  d  q R v  <->  A. s  e.  ran  d  s R r ) )
2322cbvrabv 2790 . 2  |-  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  =  { r  e.  A  |  A. s  e.  ran  d  s R r }
24 eqid 2286 . 2  |-  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs (
( h  e.  _V  |->  ( iota_ n  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" u ) s R r }  =  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ n  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" u ) s R r }
25 eqid 2286 . 2  |-  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs (
( h  e.  _V  |->  ( iota_ n  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" t ) s R r }  =  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ n  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" t ) s R r }
2617, 23, 24, 25zorn2lem7 8126 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. w ( ( w 
C_  A  /\  R  Or  w )  ->  E. x  e.  A  A. z  e.  w  ( z R x  \/  z  =  x ) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 936   A.wal 1529    = wceq 1625    e. wcel 1687   A.wral 2546   E.wrex 2547   {crab 2550   _Vcvv 2791    C_ wss 3155   class class class wbr 4026    e. cmpt 4080    Po wpo 4313    Or wor 4314   dom cdm 4690   ran crn 4691   "cima 4693   iota_crio 6292  recscrecs 6384   cardccrd 7565
This theorem is referenced by:  zorng  8128  zorn2  8130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-suc 4399  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-en 6861  df-card 7569
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