Theorem zorn2lem1 4768

Description: Lemma for zorn2 4776.

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.1	|- A e. V
zorn2lem.2	|- B = {f | E.h e. On (f Fn h /\ A.t e. h (f` t) = (G` (f |` t)))}
zorn2lem.3	|- F = U.B
zorn2lem.4	|- C = {z e. A | A.g e. ran f gRz}
zorn2lem.5	|- D = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz}
zorn2lem.6	|- G = {<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem1	|- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (F` x) e. D)

Distinct variable groups:   x,w,h,t,z,f,g,u,v,A   B,h,t,f   x,F,z,v,u,f,g,h,t   h,G,t,f   t,C   u,D,v,f,t   x,R,z,w,g,u,v,f,t

Proof of Theorem zorn2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.2	. . . . . 6 |- B = {f | E.h e. On (f Fn h /\ A.t e. h (f` t) = (G` (f |` t)))}
2		zorn2lem.3	. . . . . 6 |- F = U.B
3	1, 2	tfr2 3916	. . . . 5 |- (x e. On -> (F` x) = (G` (F |` x)))
4		zorn2lem.6	. . . . . . 7 |- G = {<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}
5	4	fveq1i 3716	. . . . . 6 |- (G` (F |` x)) = ({<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}` (F |` x))
6	1, 2	tfrlem7 3908	. . . . . . . 8 |- Fun F
7		visset 1809	. . . . . . . 8 |- x e. V
8		resfunexg 3571	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ x e. V) -> (F |` x) e. V)
9	6, 7, 8	mp2an 696	. . . . . . 7 |- (F |` x) e. V
10		zorn2lem.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. V
11		zorn2lem.5	. . . . . . . . . . 11 |- D = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz}
12		ssrab2 2127	. . . . . . . . . . 11 |- {z e. A | A.g e. (F"x)gRz} (_ A
13	11, 12	eqsstr 2087	. . . . . . . . . 10 |- D (_ A
14	10, 13	ssexi 2715	. . . . . . . . 9 |- D e. V
15	14	rabex 2720	. . . . . . . 8 |- {v e. D | A.u e. D -. uwv} e. V
16	15	uniex 2865	. . . . . . 7 |- U.{v e. D | A.u e. D -. uwv} e. V
17		rneq 3334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (f = (F |` x) -> ran f = ran ( F |` x))
18		df-ima 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F"x) = ran ( F |` x)
19	17, 18	syl6eqr 1522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f = (F |` x) -> ran f = (F"x))
20	19	eleq2d 1538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (f = (F |` x) -> (g e. ran f <-> g e. (F"x)))
21	20	imbi1d 612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (f = (F |` x) -> ((g e. ran f -> gRz) <-> (g e. (F"x) -> gRz)))
22	21	ralbidv2 1662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (f = (F |` x) -> (A.g e. ran f gRz <-> A.g e. (F"x)gRz))
23	22	rabbisdv 1803	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f = (F |` x) -> {z e. A | A.g e. ran f gRz} = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz})
24		zorn2lem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = {z e. A | A.g e. ran f gRz}
25	23, 24, 11	3eqtr4g 1528	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = (F |` x) -> C = D)
26	25	eleq2d 1538	. . . . . . . . . . 11 |- (f = (F |` x) -> (v e. C <-> v e. D))
27	25	eleq2d 1538	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f = (F |` x) -> (u e. C <-> u e. D))
28	27	imbi1d 612	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = (F |` x) -> ((u e. C -> -. uwv) <-> (u e. D -> -. uwv)))
29	28	ralbidv2 1662	. . . . . . . . . . 11 |- (f = (F |` x) -> (A.u e. C -. uwv <-> A.u e. D -. uwv))
30	26, 29	anbi12d 627	. . . . . . . . . 10 |- (f = (F |` x) -> ((v e. C /\ A.u e. C -. uwv) <-> (v e. D /\ A.u e. D -. uwv)))
31	30	abbidv 1574	. . . . . . . . 9 |- (f = (F |` x) -> {v | (v e. C /\ A.u e. C -. uwv)} = {v | (v e. D /\ A.u e. D -. uwv)})
32		df-rab 1649	. . . . . . . . 9 |- {v e. C | A.u e. C -. uwv} = {v | (v e. C /\ A.u e. C -. uwv)}
33		df-rab 1649	. . . . . . . . 9 |- {v e. D | A.u e. D -. uwv} = {v | (v e. D /\ A.u e. D -. uwv)}
34	31, 32, 33	3eqtr4g 1528	. . . . . . . 8 |- (f = (F |` x) -> {v e. C | A.u e. C -. uwv} = {v e. D | A.u e. D -. uwv})
35	34	unieqd 2507	. . . . . . 7 |- (f = (F |` x) -> U.{v e. C | A.u e. C -. uwv} = U.{v e. D | A.u e. D -. uwv})
36	9, 16, 35	fvopab 3781	. . . . . 6 |- ({<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}` (F |` x)) = U.{v e. D | A.u e. D -. uwv}
37	5, 36	eqtr 1492	. . . . 5 |- (G` (F |` x)) = U.{v e. D | A.u e. D -. uwv}
38	3, 37	syl6eq 1520	. . . 4 |- (x e. On -> (F` x) = U.{v e. D | A.u e. D -. uwv})
39	38	eleq1d 1537	. . 3 |- (x e. On -> ((F` x) e. D <-> U.{v e. D | A.u e. D -. uwv} e. D))
40	14	wereucl 2941	. . . 4 |- ((w We A /\ D (_ A /\ D =/= (/)) -> U.{v e. D | A.u e. D -. uwv} e. D)
41	13, 40	mp3an2 902	. . 3 |- ((w We A /\ D =/= (/)) -> U.{v e. D | A.u e. D -. uwv} e. D)
42	39, 41	syl5bir 210	. 2 |- (x e. On -> ((w We A /\ D =/= (/)) -> (F` x) e. D))
43	42	imp 350	1 |- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (F` x) e. D)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643  {crab 1645  Vcvv 1807   (_ wss 2043  (/)c0 2276  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  {copab 2661   We wwe 2911  Oncon0 2943  ran crn 3166   |` cres 3167  "cima 3168  Fun wfun 3171   Fn wfn 3172  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  zorn2lem2 4769  zorn2lem3 4770  zorn2lem4 4771  zorn2lem5 4772

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain