Theorem zorn2lem2 4761

Description: Lemma for zorn2 4768.

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.1	|- A e. V
zorn2lem.2	|- B = {f | E.h e. On (f Fn h /\ A.t e. h (f` t) = (G` (f |` t)))}
zorn2lem.3	|- F = U.B
zorn2lem.4	|- C = {z e. A | A.g e. ran f gRz}
zorn2lem.5	|- D = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz}
zorn2lem.6	|- G = {<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem2	|- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (y e. x -> (F` y)R(F` x)))

Distinct variable groups:   x,y,w,h,t,z,f,g,u,v,A   B,h,t,f   x,F,y,z,v,u,f,g,h,t   h,G,t,f   t,C   y,D,u,v,f,t   x,R,y,z,w,g,u,v,f,t

Proof of Theorem zorn2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsst 2982	. . . . 5 |- (x e. On -> x (_ On)
2		zorn2lem.2	. . . . . . 7 |- B = {f | E.h e. On (f Fn h /\ A.t e. h (f` t) = (G` (f |` t)))}
3		zorn2lem.3	. . . . . . 7 |- F = U.B
4	2, 3	tfr1 3909	. . . . . 6 |- F Fn On
5		fndm 3573	. . . . . 6 |- (F Fn On -> dom F = On)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . 5 |- dom F = On
7	1, 6	syl6ssr 2098	. . . 4 |- (x e. On -> x (_ dom F)
8	2, 3	tfrlem7 3902	. . . . 5 |- Fun F
9		funfvima2 3838	. . . . 5 |- ((Fun F /\ x (_ dom F) -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
10	8, 9	mpan 693	. . . 4 |- (x (_ dom F -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
11	7, 10	syl 10	. . 3 |- (x e. On -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
12	11	adantr 389	. 2 |- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
13		zorn2lem.1	. . . 4 |- A e. V
14		zorn2lem.4	. . . 4 |- C = {z e. A | A.g e. ran f gRz}
15		zorn2lem.5	. . . 4 |- D = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz}
16		zorn2lem.6	. . . 4 |- G = {<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}
17	13, 2, 3, 14, 15, 16	zorn2lem1 4760	. . 3 |- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (F` x) e. D)
18		breq2 2613	. . . . . 6 |- (z = (F` x) -> (gRz <-> gR(F` x)))
19	18	ralbidv 1655	. . . . 5 |- (z = (F` x) -> (A.g e. (F"x)gRz <-> A.g e. (F"x)gR(F` x)))
20	19, 15	elrab2 1898	. . . 4 |- ((F` x) e. D <-> ((F` x) e. A /\ A.g e. (F"x)gR(F` x)))
21	20	pm3.27bi 326	. . 3 |- ((F` x) e. D -> A.g e. (F"x)gR(F` x))
22		breq1 2612	. . . 4 |- (g = (F` y) -> (gR(F` x) <-> (F` y)R(F` x)))
23	22	rcla4cv 1865	. . 3 |- (A.g e. (F"x)gR(F` x) -> ((F` y) e. (F"x) -> (F` y)R(F` x)))
24	17, 21, 23	3syl 20	. 2 |- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> ((F` y) e. (F"x) -> (F` y)R(F` x)))
25	12, 24	syld 27	1 |- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (y e. x -> (F` y)R(F` x)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640  Vcvv 1802   (_ wss 2037  (/)c0 2270  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  {copab 2656   We wwe 2906  Oncon0 2938  dom cdm 3160  ran crn 3161   |` cres 3162  "cima 3163  Fun wfun 3166   Fn wfn 3167  ` cfv 3172

This theorem is referenced by:  zorn2lem3 4762  zorn2lem6 4765

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain