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Theorem zorn2lem6 8144
Description: Lemma for zorn2 8149. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
zorn2lem.4  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
zorn2lem.5  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
zorn2lem.7  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
Assertion
Ref Expression
zorn2lem6  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Or  ( F " x
) ) )
Distinct variable groups:    f, g, u, v, w, x, y, z, A    D, f, u, v, y    f, F, g, u, v, x, y, z    R, f, g, u, v, w, x, y, z    v, C    x, H, u, v, f
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w, u, f, g)    D( x, z, w, g)    F( w)    H( y,
z, w, g)

Proof of Theorem zorn2lem6
Dummy variables  a 
b  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . . . 6  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
2 zorn2lem.4 . . . . . 6  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
3 zorn2lem.5 . . . . . 6  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
4 zorn2lem.7 . . . . . 6  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
51, 2, 3, 4zorn2lem5 8143 . . . . 5  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( F " x
)  C_  A )
6 poss 4332 . . . . 5  |-  ( ( F " x ) 
C_  A  ->  ( R  Po  A  ->  R  Po  ( F "
x ) ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( R  Po  A  ->  R  Po  ( F
" x ) ) )
87com12 27 . . 3  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Po  ( F " x
) ) )
91tfr1 6429 . . . . . . . 8  |-  F  Fn  On
10 fnfun 5357 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  On  ->  Fun  F )
11 fvelima 5590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  ( F " x
) )  ->  E. b  e.  x  ( F `  b )  =  s )
12 df-rex 2562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  x  ( F `  b )  =  s  <->  E. b
( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s ) )
1311, 12sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  ( F " x
) )  ->  E. b
( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s ) )
1413ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( s  e.  ( F " x
)  ->  E. b
( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s ) ) )
15 fvelima 5590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  r  e.  ( F " x
) )  ->  E. a  e.  x  ( F `  a )  =  r )
16 df-rex 2562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  x  ( F `  a )  =  r  <->  E. a
( a  e.  x  /\  ( F `  a
)  =  r ) )
1715, 16sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  r  e.  ( F " x
) )  ->  E. a
( a  e.  x  /\  ( F `  a
)  =  r ) )
1817ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( r  e.  ( F " x
)  ->  E. a
( a  e.  x  /\  ( F `  a
)  =  r ) ) )
1914, 18anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( (
s  e.  ( F
" x )  /\  r  e.  ( F " x ) )  -> 
( E. b ( b  e.  x  /\  ( F `  b )  =  s )  /\  E. a ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) ) )
209, 10, 19mp2b 9 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( F
" x )  /\  r  e.  ( F " x ) )  -> 
( E. b ( b  e.  x  /\  ( F `  b )  =  s )  /\  E. a ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) )
21 an4 797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  <-> 
( ( b  e.  x  /\  ( F `
 b )  =  s )  /\  (
a  e.  x  /\  ( F `  a )  =  r ) ) )
22212exbii 1573 . . . . . . . 8  |-  ( E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  <->  E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s )  /\  ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) )
23 eeanv 1866 . . . . . . . 8  |-  ( E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s )  /\  ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) )  <->  ( E. b ( b  e.  x  /\  ( F `
 b )  =  s )  /\  E. a ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) )
2422, 23bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  <-> 
( E. b ( b  e.  x  /\  ( F `  b )  =  s )  /\  E. a ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) )
2520, 24sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( F
" x )  /\  r  e.  ( F " x ) )  ->  E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) ) )
264neeq1i 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  =/=  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) )
2726ralbii 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  <->  A. y  e.  x  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) )
28 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  ( F " y )  =  ( F " b
) )
2928raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( A. g  e.  ( F " y ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " b
) g R z ) )
3029rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z } )
3130neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )
3231rspccv 2894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) 
->  ( b  e.  x  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )
33 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  a  ->  ( F " y )  =  ( F " a
) )
3433raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  ( A. g  e.  ( F " y ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " a
) g R z ) )
3534rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z } )
3635neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )
3736rspccv 2894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) 
->  ( a  e.  x  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )
3832, 37anim12d 546 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  x  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) 
->  ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )
3927, 38sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  ( (
b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b
) g R z }  =/=  (/)  /\  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )
40 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  b  e.  x )  ->  b  e.  On )
41 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  a  e.  x )  ->  a  e.  On )
4240, 41anim12dan 810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( b  e.  x  /\  a  e.  x
) )  ->  (
b  e.  On  /\  a  e.  On )
)
4342ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( b  e.  On  /\  a  e.  On ) ) )
44 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  On  ->  Ord  b )
45 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  On  ->  Ord  a )
46 ordtri3or 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  b  /\  Ord  a )  ->  (
b  e.  a  \/  b  =  a  \/  a  e.  b ) )
4744, 45, 46syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  ( b  e.  a  \/  b  =  a  \/  a  e.  b ) )
48 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }
491, 2, 48zorn2lem2 8140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  On  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  a  ->  ( F `  b ) R ( F `  a ) ) )
5049adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e.  a  ->  ( F `  b ) R ( F `  a ) ) )
51 breq12 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( ( F `  b ) R ( F `  a )  <-> 
s R r ) )
5251biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  b ) R ( F `  a )  ->  (
( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  ->  s R
r ) )
5350, 52syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e.  a  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
s R r ) ) )
5453com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( b  e.  a  ->  s R r ) ) )
5554adantrrl 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) 
/\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a
) g R z }  =/=  (/) ) ) )  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( b  e.  a  ->  s R r ) ) )
5655imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( b  e.  a  ->  s R
r ) )
57 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  a  ->  ( F `  b )  =  ( F `  a ) )
58 eqeq12 2308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( ( F `  b )  =  ( F `  a )  <-> 
s  =  r ) )
5957, 58syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( b  =  a  ->  s  =  r ) )
6059adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( b  =  a  ->  s  =  r ) )
61 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }
621, 2, 61zorn2lem2 8140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  On  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  b  ->  ( F `  a ) R ( F `  b ) ) )
6362adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( a  e.  b  ->  ( F `  a ) R ( F `  b ) ) )
64 breq12 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F `  a
)  =  r  /\  ( F `  b )  =  s )  -> 
( ( F `  a ) R ( F `  b )  <-> 
r R s ) )
6564ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( ( F `  a ) R ( F `  b )  <-> 
r R s ) )
6665biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  a ) R ( F `  b )  ->  (
( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  ->  r R
s ) )
6763, 66syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( a  e.  b  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
r R s ) ) )
6867com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( a  e.  b  ->  r R s ) ) )
6968adantrrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) 
/\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a
) g R z }  =/=  (/) ) ) )  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( a  e.  b  ->  r R s ) ) )
7069imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( a  e.  b  ->  r R
s ) )
7156, 60, 703orim123d 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( ( b  e.  a  \/  b  =  a  \/  a  e.  b )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
7247, 71syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
7372exp31 587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  ( ( w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) 
/\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a
) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
7473com4r 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  (
( w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b
) g R z }  =/=  (/)  /\  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  (
( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  ->  ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
7543, 43, 74syl6c 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  (
( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
7675exp4a 589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  (
( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( w  We  A  ->  ( ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F `
 b )  =  s  /\  ( F `
 a )  =  r )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) ) )
7776com3r 73 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  We  A  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F `
 b )  =  s  /\  ( F `
 a )  =  r )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) ) )
7877imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  (
( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b
) g R z }  =/=  (/)  /\  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) )  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
7978a2d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  (
( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  ->  ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
8039, 79syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  (
( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
8180imp4b 573 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  /\  (
( F `  b
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8281exlimdvv 1627 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  /\  (
( F `  b
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8325, 82syl5 28 . . . . 5  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( ( s  e.  ( F " x
)  /\  r  e.  ( F " x ) )  ->  ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
8483ralrimivv 2647 . . . 4  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  ( F " x ) A. r  e.  ( F " x ) ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) )
8584a1i 10 . . 3  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  ( F " x
) A. r  e.  ( F " x
) ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
868, 85jcad 519 . 2  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( R  Po  ( F " x )  /\  A. s  e.  ( F " x ) A. r  e.  ( F " x
) ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) )
87 df-so 4331 . 2  |-  ( R  Or  ( F "
x )  <->  ( R  Po  ( F " x
)  /\  A. s  e.  ( F " x
) A. r  e.  ( F " x
) ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
8886, 87syl6ibr 218 1  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Or  ( F " x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    Po wpo 4328    Or wor 4329    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   iota_crio 6313  recscrecs 6403
This theorem is referenced by:  zorn2lem7  8145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 6320  df-recs 6404
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