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Theorem zorn2lem7 8129
Description: Lemma for zorn2 8133. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
zorn2lem.4  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
zorn2lem.5  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
zorn2lem.7  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
Distinct variable groups:    a, b,
f, g, r, s, u, v, w, x, y, z, A    D, a, b, f, u, v, y    F, a, b, f, g, r, s, u, v, x, y, z    R, a, b, f, g, r, s, u, v, w, x, y, z   
v, C    x, H, u, v, f, s, r, a, b
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w, u, f, g, s, r, a, b)    D( x, z, w, g, s, r)    F( w)    H( y, z, w, g)

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 7662 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. w  w  We  A )
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
52, 3, 4zorn2lem4 8126 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Po  A  /\  w  We  A )  ->  E. x  e.  On  D  =  (/) )
6 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
76raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " y
) g R z ) )
87rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z } )
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
108, 4, 93eqtr4g 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  D  =  H )
1110eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( D  =  (/)  <->  H  =  (/) ) )
1211onminex 4598 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  D  =  (/)  ->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
13 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  =/=  (/)  <->  -.  H  =  (/) )
1413ralbii 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  <->  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) )
1514anbi2i 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  <->  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
1615rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
1712, 16sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  D  =  (/)  ->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )
182, 3, 4, 9zorn2lem5 8127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( F " x
)  C_  A )
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( F " x )  C_  A ) )
202, 3, 4, 9zorn2lem6 8128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Or  ( F " x
) ) )
2119, 20jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( F " x
)  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) ) ) )
222tfr1 6413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F  Fn  On
23 fnfun 5341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  On  ->  Fun  F )
24 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
2524funimaex 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " x )  e.  _V )
2622, 23, 25mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F
" x )  e. 
_V
27 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
s  C_  A  <->  ( F " x )  C_  A
) )
28 soeq2 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( R  Or  s  <->  R  Or  ( F " x ) ) )
2927, 28anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  <->  ( ( F
" x )  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) ) ) )
30 raleq 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a )  <->  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3130rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a )  <->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3229, 31imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) )  <-> 
( ( ( F
" x )  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) ) )
3326, 32spcv 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( ( ( F " x ) 
C_  A  /\  R  Or  ( F " x
) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3421, 33sylan9 638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3534adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3635imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a ) )
37 noel 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  -.  b  e.  (/)
3818sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  r  e.  A
) )
39 3anass 938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( r  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A )  <->  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )
40 potr 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( r R a  /\  a R b )  ->  r R
b ) )
4139, 40sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  -> 
( ( r R a  /\  a R b )  ->  r R b ) )
4241exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  -> 
( a R b  ->  ( r R a  ->  r R
b ) ) )
4342imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( r R a  ->  r R b ) )
44 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( r  =  a  ->  (
r R b  <->  a R
b ) )
4544biimprcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( a R b  ->  (
r  =  a  -> 
r R b ) )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( r  =  a  ->  r R b ) )
4743, 46jaod 369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) )
4847exp42 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( R  Po  A  ->  (
r  e.  A  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
4938, 48sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
5049com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a R b  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
r  e.  ( F
" x )  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
5150com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
r R b ) ) ) ) )
5251imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
r R b ) ) )
5352a2d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( ( r  e.  ( F " x
)  ->  ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( r  e.  ( F " x
)  ->  r R
b ) ) )
5453ralimdv2 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  A. r  e.  ( F " x
) r R b ) )
55 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( r  =  g  ->  (
r R b  <->  g R
b ) )
5655cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( A. r  e.  ( F " x ) r R b  <->  A. g  e.  ( F " x ) g R b )
57 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( z  =  b  ->  (
g R z  <->  g R
b ) )
5857ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( z  =  b  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " x
) g R b ) )
5958elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( b  e.  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x
) g R z }  <->  ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F " x
) g R b ) )
604eqeq1i 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( D  =  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  (/) )
61 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  (/) 
->  ( b  e.  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  <->  b  e.  (/) ) )
6260, 61sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( D  =  (/)  ->  ( b  e.  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x
) g R z }  <->  b  e.  (/) ) )
6359, 62syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F
" x ) g R b )  <->  b  e.  (/) ) )
6463biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F
" x ) g R b )  -> 
b  e.  (/) ) )
6564expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R b  ->  b  e.  (/) ) )
6656, 65syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) r R b  ->  b  e.  (/) ) )
6754, 66sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  /\  ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b ) )  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  b  e.  (/) ) )
6867exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a R b  -> 
( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  b  e.  (/) ) ) ) )
6968com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  ( a R b  ->  b  e.  (/) ) ) ) )
7069imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A
)  /\  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  A. r  e.  ( F
" x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( a R b  ->  b  e.  (/) ) )
7137, 70mtoi 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A
)  /\  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  A. r  e.  ( F
" x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  -.  a R b )
7271exp42 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R
b ) ) ) )
7372exp4a 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( b  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7473com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  A  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7574ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( D  =  (/)  ->  ( b  e.  A  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  A  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) ) )
7675com4r 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
b  e.  A  -> 
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) ) )
7776pm2.43a 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7877imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  A  ->  (
( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) )
7978com4l 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
( b  e.  A  ->  -.  a R b ) ) ) )
8079imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( b  e.  A  ->  -.  a R b ) ) )
8180ralrimdv 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8281exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
8382reximdvai 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8483exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  =  (/)  ->  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8584com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  Po  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8685adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8786imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8836, 87mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
8988exp45 597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( (
w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9089com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( (
w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9190expdimp 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( x  e.  On  ->  ( D  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9291imp4a 572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( x  e.  On  ->  ( ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
9392com3l 75 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  (
( D  =  (/)  /\ 
A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
9493rexlimiv 2661 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
955, 17, 943syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Po  A  /\  w  We  A )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9695adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9796pm2.43i 43 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
9897expcom 424 . . . 4  |-  ( w  We  A  ->  (
( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9998exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. w  w  We  A  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
1001, 99sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
1011003impib 1149 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Po wpo 4312    Or wor 4313    We wwe 4351   Oncon0 4392   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   iota_crio 6297  recscrecs 6387   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  zorn2g  8130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-en 6864  df-card 7572
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