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Theorem zorn2lem7 8145
Description: Lemma for zorn2 8149. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
zorn2lem.4  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
zorn2lem.5  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
zorn2lem.7  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
Distinct variable groups:    a, b,
f, g, r, s, u, v, w, x, y, z, A    D, a, b, f, u, v, y    F, a, b, f, g, r, s, u, v, x, y, z    R, a, b, f, g, r, s, u, v, w, x, y, z   
v, C    x, H, u, v, f, s, r, a, b
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w, u, f, g, s, r, a, b)    D( x, z, w, g, s, r)    F( w)    H( y, z, w, g)

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 7678 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. w  w  We  A )
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
52, 3, 4zorn2lem4 8142 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Po  A  /\  w  We  A )  ->  E. x  e.  On  D  =  (/) )
6 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
76raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " y
) g R z ) )
87rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z } )
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
108, 4, 93eqtr4g 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  D  =  H )
1110eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( D  =  (/)  <->  H  =  (/) ) )
1211onminex 4614 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  D  =  (/)  ->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
13 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  =/=  (/)  <->  -.  H  =  (/) )
1413ralbii 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  <->  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) )
1514anbi2i 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  <->  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
1615rexbii 2581 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
1712, 16sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  D  =  (/)  ->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )
182, 3, 4, 9zorn2lem5 8143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( F " x
)  C_  A )
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( F " x )  C_  A ) )
202, 3, 4, 9zorn2lem6 8144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Or  ( F " x
) ) )
2119, 20jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( F " x
)  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) ) ) )
222tfr1 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F  Fn  On
23 fnfun 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  On  ->  Fun  F )
24 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
2524funimaex 5346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " x )  e.  _V )
2622, 23, 25mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F
" x )  e. 
_V
27 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
s  C_  A  <->  ( F " x )  C_  A
) )
28 soeq2 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( R  Or  s  <->  R  Or  ( F " x ) ) )
2927, 28anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  <->  ( ( F
" x )  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) ) ) )
30 raleq 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a )  <->  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3130rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a )  <->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3229, 31imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) )  <-> 
( ( ( F
" x )  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) ) )
3326, 32spcv 2887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( ( ( F " x ) 
C_  A  /\  R  Or  ( F " x
) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3421, 33sylan9 638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3534adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3635imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a ) )
37 noel 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  -.  b  e.  (/)
3818sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  r  e.  A
) )
39 3anass 938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( r  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A )  <->  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )
40 potr 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( r R a  /\  a R b )  ->  r R
b ) )
4139, 40sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  -> 
( ( r R a  /\  a R b )  ->  r R b ) )
4241exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  -> 
( a R b  ->  ( r R a  ->  r R
b ) ) )
4342imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( r R a  ->  r R b ) )
44 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( r  =  a  ->  (
r R b  <->  a R
b ) )
4544biimprcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( a R b  ->  (
r  =  a  -> 
r R b ) )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( r  =  a  ->  r R b ) )
4743, 46jaod 369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) )
4847exp42 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( R  Po  A  ->  (
r  e.  A  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
4938, 48sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
5049com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a R b  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
r  e.  ( F
" x )  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
5150com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
r R b ) ) ) ) )
5251imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
r R b ) ) )
5352a2d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( ( r  e.  ( F " x
)  ->  ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( r  e.  ( F " x
)  ->  r R
b ) ) )
5453ralimdv2 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  A. r  e.  ( F " x
) r R b ) )
55 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( r  =  g  ->  (
r R b  <->  g R
b ) )
5655cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( A. r  e.  ( F " x ) r R b  <->  A. g  e.  ( F " x ) g R b )
57 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( z  =  b  ->  (
g R z  <->  g R
b ) )
5857ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( z  =  b  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " x
) g R b ) )
5958elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( b  e.  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x
) g R z }  <->  ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F " x
) g R b ) )
604eqeq1i 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( D  =  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  (/) )
61 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  (/) 
->  ( b  e.  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  <->  b  e.  (/) ) )
6260, 61sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( D  =  (/)  ->  ( b  e.  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x
) g R z }  <->  b  e.  (/) ) )
6359, 62syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F
" x ) g R b )  <->  b  e.  (/) ) )
6463biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F
" x ) g R b )  -> 
b  e.  (/) ) )
6564expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R b  ->  b  e.  (/) ) )
6656, 65syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) r R b  ->  b  e.  (/) ) )
6754, 66sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  /\  ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b ) )  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  b  e.  (/) ) )
6867exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a R b  -> 
( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  b  e.  (/) ) ) ) )
6968com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  ( a R b  ->  b  e.  (/) ) ) ) )
7069imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A
)  /\  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  A. r  e.  ( F
" x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( a R b  ->  b  e.  (/) ) )
7137, 70mtoi 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A
)  /\  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  A. r  e.  ( F
" x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  -.  a R b )
7271exp42 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R
b ) ) ) )
7372exp4a 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( b  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7473com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  A  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7574ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( D  =  (/)  ->  ( b  e.  A  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  A  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) ) )
7675com4r 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
b  e.  A  -> 
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) ) )
7776pm2.43a 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7877imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  A  ->  (
( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) )
7978com4l 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
( b  e.  A  ->  -.  a R b ) ) ) )
8079imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( b  e.  A  ->  -.  a R b ) ) )
8180ralrimdv 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8281exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
8382reximdvai 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8483exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  =  (/)  ->  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8584com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  Po  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8685adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8786imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8836, 87mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
8988exp45 597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( (
w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9089com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( (
w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9190expdimp 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( x  e.  On  ->  ( D  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9291imp4a 572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( x  e.  On  ->  ( ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
9392com3l 75 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  (
( D  =  (/)  /\ 
A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
9493rexlimiv 2674 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
955, 17, 943syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Po  A  /\  w  We  A )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9695adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9796pm2.43i 43 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
9897expcom 424 . . . 4  |-  ( w  We  A  ->  (
( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9998exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. w  w  We  A  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
1001, 99sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
1011003impib 1149 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    Po wpo 4328    Or wor 4329    We wwe 4367   Oncon0 4408   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   iota_crio 6313  recscrecs 6403   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  zorn2g  8146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-en 6880  df-card 7588
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