Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zzngim Structured version   Unicode version

Theorem zzngim 16835
 Description: The ring homomorphism is an isomorphism for . (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zzngim.y ℤ/n
zzngim.2 RHom
Assertion
Ref Expression
zzngim flds GrpIso

Proof of Theorem zzngim
StepHypRef Expression
1 0nn0 10238 . . . 4
2 zzngim.y . . . . 5 ℤ/n
32zncrng 16827 . . . 4
4 crngrng 15676 . . . 4
51, 3, 4mp2b 10 . . 3
6 eqid 2438 . . . 4 flds flds
7 zzngim.2 . . . 4 RHom
86, 7zrhrhm 16795 . . 3 flds RingHom
9 rhmghm 15828 . . 3 flds RingHom flds
105, 8, 9mp2b 10 . 2 flds
11 eqid 2438 . . . 4
122, 11, 7znzrhfo 16830 . . . . . . 7
131, 12ax-mp 8 . . . . . 6
14 fofn 5657 . . . . . 6
15 fnresdm 5556 . . . . . 6
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . 5
177reseq1i 5144 . . . . 5 RHom
1816, 17eqtr3i 2460 . . . 4 RHom
19 eqid 2438 . . . . . 6
20 iftrue 3747 . . . . . 6 ..^
2119, 20ax-mp 8 . . . . 5 ..^
2221eqcomi 2442 . . . 4 ..^
236, 2, 11, 18, 22znf1o 16834 . . 3
241, 23ax-mp 8 . 2
25 zsubrg 16754 . . . 4 SubRingfld
266subrgbas 15879 . . . 4 SubRingfld flds
2725, 26ax-mp 8 . . 3 flds
2827, 11isgim 15051 . 2 flds GrpIso flds
2910, 24, 28mpbir2an 888 1 flds GrpIso
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1653   wcel 1726  cif 3741   cres 4882   wfn 5451  wfo 5454  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc0 8992  cn0 10223  cz 10284  ..^cfzo 11137  cbs 13471   ↾s cress 13472   cghm 15005   GrpIso cgim 15046  crg 15662  ccrg 15663   RingHom crh 15819  SubRingcsubrg 15866  ℂfldccnfld 16705  RHomczrh 16780  ℤ/nℤczn 16783 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-dvds 12855  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-rnghom 15821  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249  df-2idl 16305  df-cnfld 16706  df-zrh 16784  df-zn 16787
 Copyright terms: Public domain W3C validator