MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zzngim Unicode version

Theorem zzngim 16522
Description: The  ZZ ring homomorphism is an isomorphism for  N  = 
0. (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zzngim.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  0 )
zzngim.2  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
Assertion
Ref Expression
zzngim  |-  L  e.  ( (flds  ZZ ) GrpIso  Y )

Proof of Theorem zzngim
StepHypRef Expression
1 0nn0 9996 . . . 4  |-  0  e.  NN0
2 zzngim.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  0 )
32zncrng 16514 . . . 4  |-  ( 0  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
4 crngrng 15367 . . . 4  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
51, 3, 4mp2b 9 . . 3  |-  Y  e. 
Ring
6 eqid 2296 . . . 4  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
7 zzngim.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
86, 7zrhrhm 16482 . . 3  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
9 rhmghm 15519 . . 3  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ )  GrpHom  Y ) )
105, 8, 9mp2b 9 . 2  |-  L  e.  ( (flds  ZZ )  GrpHom  Y )
11 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
122, 11, 7znzrhfo 16517 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
131, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
)
14 fofn 5469 . . . . . 6  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L  Fn  ZZ )
15 fnresdm 5369 . . . . . 6  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  ( L  |`  ZZ )  =  L )
1613, 14, 15mp2b 9 . . . . 5  |-  ( L  |`  ZZ )  =  L
177reseq1i 4967 . . . . 5  |-  ( L  |`  ZZ )  =  ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ZZ )
1816, 17eqtr3i 2318 . . . 4  |-  L  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ZZ )
19 eqid 2296 . . . . . 6  |-  0  =  0
20 iftrue 3584 . . . . . 6  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ 0 ) )  =  ZZ )
2119, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  if ( 0  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ 0 ) )  =  ZZ
2221eqcomi 2300 . . . 4  |-  ZZ  =  if ( 0  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ 0 ) )
236, 2, 11, 18, 22znf1o 16521 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  ->  L : ZZ
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)
241, 23ax-mp 8 . 2  |-  L : ZZ
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
25 zsubrg 16441 . . . 4  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
266subrgbas 15570 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
2725, 26ax-mp 8 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
2827, 11isgim 14742 . 2  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) GrpIso  Y )  <-> 
( L  e.  ( (flds  ZZ )  GrpHom  Y )  /\  L : ZZ -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
2910, 24, 28mpbir2an 886 1  |-  L  e.  ( (flds  ZZ ) GrpIso  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  ..^cfzo 10886   Basecbs 13164   ↾s cress 13165    GrpHom cghm 14696   GrpIso cgim 14737   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   RingHom crh 15510  SubRingcsubrg 15557  ℂfldccnfld 16393   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474
  Copyright terms: Public domain W3C validator