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Theorem 00id 10062
Description: 0 is its own additive identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
00id (0 + 0) = 0

Proof of Theorem 00id
Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9896 . 2 0 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 9863 . 2 (0 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0)
3 oveq2 6535 . . . . . . 7 (𝑐 = 0 → (0 + 𝑐) = (0 + 0))
43eqeq1d 2611 . . . . . 6 (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
54biimpd 217 . . . . 5 (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0))
65adantld 481 . . . 4 (𝑐 = 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
7 ax-rrecex 9864 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
87adantlr 746 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
9 simplll 793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℝ)
109recnd 9924 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℂ)
11 simprl 789 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1211recnd 9924 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13 0cn 9888 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
14 mulass 9880 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
1513, 14mp3an3 1404 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
1610, 12, 15syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
17 oveq1 6534 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (1 · 0))
1813mulid2i 9899 . . . . . . . . . . 11 (1 · 0) = 0
1917, 18syl6eq 2659 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
2019ad2antll 760 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
2116, 20eqtr3d 2645 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) = 0)
2221oveq1d 6542 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = (0 + 0))
23 simpllr 794 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 𝑐) = 0)
2423oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = (0 · (𝑦 · 0)))
25 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
261, 25mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
2726ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
2827recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℂ)
29 adddir 9887 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℂ) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3013, 29mp3an1 1402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℂ) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3110, 28, 30syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3224, 31eqtr3d 2645 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3332oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) = (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0))
34 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
351, 26, 34sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
3635ad2antrl 759 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
3736recnd 9924 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
38 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
399, 27, 38syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
4039recnd 9924 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
41 addass 9879 . . . . . . . . . . 11 (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
4213, 41mp3an3 1404 . . . . . . . . . 10 (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
4337, 40, 42syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
4433, 43eqtr2d 2644 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0))
4526, 38sylan2 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
46 readdcl 9875 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
4745, 1, 46sylancl 692 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
489, 11, 47syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
49 readdcan 10061 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
501, 49mp3an2 1403 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
5148, 36, 50syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
5244, 51mpbid 220 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0)
5322, 52eqtr3d 2645 . . . . . 6 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 0) = 0)
548, 53rexlimddv 3016 . . . . 5 (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → (0 + 0) = 0)
5554expcom 449 . . . 4 (𝑐 ≠ 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
566, 55pm2.61ine 2864 . . 3 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0)
5756rexlimiva 3009 . 2 (∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0)
581, 2, 57mp2b 10 1 (0 + 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935
This theorem is referenced by:  mul02lem1  10063  mul02lem2  10064  addid1  10067  addid2  10070  addgt0  10363  addgegt0  10364  addgtge0  10365  addge0  10366  add20  10389  recextlem2  10507  crne0  10860  decaddm10  11410  10p10e20  11460  10p10e20OLD  11461  ser0  12670  faclbnd4lem3  12899  bcpasc  12925  relexpaddg  13587  fsumadd  14263  fsumrelem  14326  arisum  14377  fsumcube  14576  sadcaddlem  14963  sadcadd  14964  sadadd2  14966  bezout  15044  bezoutr1  15066  nnnn0modprm0  15295  pcaddlem  15376  4sqlem19  15451  139prm  15615  163prm  15616  317prm  15617  631prm  15618  1259lem1  15622  1259lem2  15623  1259lem4  15625  2503lem1  15628  2503lem2  15629  2503lem3  15630  4001lem1  15632  4001lem2  15633  4001lem3  15634  4001lem4  15635  sylow1lem1  17782  psrbagaddcl  19137  mplcoe3  19233  cnfld0  19535  reparphti  22536  itg1addlem4  23189  ibladdlem  23309  itgaddlem1  23312  iblabslem  23317  iblabs  23318  coeaddlem  23726  dcubic  24290  log2ublem3  24392  log2ub  24393  chtublem  24653  logfacrlim  24666  dchrisumlem1  24895  chpdifbndlem2  24960  vdgr0  26193  vdgr1a  26199  1kp2ke3k  26461  dip0r  26760  pythi  26895  normpythi  27189  ocsh  27332  0lnfn  28034  lnopeq0i  28056  nlelshi  28109  unierri  28153  probun  29614  poimirlem3  32378  poimirlem4  32379  ismblfin  32416  itg2addnc  32430  ibladdnclem  32432  itgaddnclem1  32434  itgaddnclem2  32435  iblabsnclem  32439  iblabsnc  32440  iblmulc2nc  32441  ftc1anclem8  32458  ftc1anc  32459  relexpaddss  36825  stoweidlem44  38734  fourierdlem42  38839  fourierdlem103  38899  fourierdlem104  38900  sqwvfoura  38918  sqwvfourb  38919  fmtno5lem4  39804  139prmALT  39847  vtxdg0e  40684
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