Theorem 00id 10423

Description: 0 is its own additive identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
00id	⊢ (0 + 0) = 0

Proof of Theorem 00id

Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10252	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 10219	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0)
3		oveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 0 → (0 + 𝑐) = (0 + 0))
4	3	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
5	4	biimpd 219	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0))
6	5	adantld 484	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
7		ax-rrecex 10220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
8	7	adantlr 753	. . . . . 6 ⊢ (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
9		simplll 815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℝ)
10	9	recnd 10280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℂ)
11		simprl 811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	recnd 10280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13		0cn 10244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
14		mulass 10236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
15	13, 14	mp3an3 1562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
16	10, 12, 15	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
17		oveq1 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (1 · 0))
18	13	mulid2i 10255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 0) = 0
19	17, 18	syl6eq 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
20	19	ad2antll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
21	16, 20	eqtr3d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) = 0)
22	21	oveq1d 6829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = (0 + 0))
23		simpllr 817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 𝑐) = 0)
24	23	oveq1d 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = (0 · (𝑦 · 0)))
25		remulcl 10233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
26	1, 25	mpan2 709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrl 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
28	27	recnd 10280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℂ)
29		adddir 10243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℂ) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
30	13, 29	mp3an1 1560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℂ) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
31	10, 28, 30	syl2anc 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
32	24, 31	eqtr3d 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
33	32	oveq1d 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) = (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0))
34		remulcl 10233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
35	1, 26, 34	sylancr 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
36	35	ad2antrl 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
37	36	recnd 10280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
38		remulcl 10233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
39	9, 27, 38	syl2anc 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
40	39	recnd 10280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
41		addass 10235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
42	13, 41	mp3an3 1562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
43	37, 40, 42	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
44	33, 43	eqtr2d 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0))
45	26, 38	sylan2 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
46		readdcl 10231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
47	45, 1, 46	sylancl 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
48	9, 11, 47	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
49		readdcan 10422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
50	1, 49	mp3an2 1561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
51	48, 36, 50	syl2anc 696	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
52	44, 51	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0)
53	22, 52	eqtr3d 2796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 0) = 0)
54	8, 53	rexlimddv 3173	. . . . 5 ⊢ (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → (0 + 0) = 0)
55	54	expcom 450	. . . 4 ⊢ (𝑐 ≠ 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
56	6, 55	pm2.61ine 3015	. . 3 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0)
57	56	rexlimiva 3166	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0)
58	1, 2, 57	mp2b 10	1 ⊢ (0 + 0) = 0

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291

This theorem is referenced by:  mul02lem1  10424  mul02lem2  10425  addid1  10428  addid2  10431  addgt0  10726  addgegt0  10727  addgtge0  10728  addge0  10729  add20  10752  recextlem2  10870  crne0  11225  decaddm10  11790  10p10e20  11840  10p10e20OLD  11841  ser0  13067  faclbnd4lem3  13296  bcpasc  13322  relexpaddg  14012  fsumadd  14689  fsumrelem  14758  arisum  14811  fsumcube  15010  sadcaddlem  15401  sadcadd  15402  sadadd2  15404  bezout  15482  bezoutr1  15504  nnnn0modprm0  15733  pcaddlem  15814  4sqlem19  15889  139prm  16053  163prm  16054  317prm  16055  631prm  16056  1259lem1  16060  1259lem2  16061  1259lem4  16063  2503lem1  16066  2503lem2  16067  2503lem3  16068  4001lem1  16070  4001lem2  16071  4001lem3  16072  4001lem4  16073  sylow1lem1  18233  psrbagaddcl  19592  mplcoe3  19688  cnfld0  19992  reparphti  23017  itg1addlem4  23685  ibladdlem  23805  itgaddlem1  23808  iblabslem  23813  iblabs  23814  coeaddlem  24224  dcubic  24793  log2ublem3  24895  log2ub  24896  chtublem  25156  logfacrlim  25169  dchrisumlem1  25398  chpdifbndlem2  25463  vtxdg0e  26601  1kp2ke3k  27635  dip0r  27902  pythi  28035  normpythi  28329  ocsh  28472  0lnfn  29174  lnopeq0i  29196  nlelshi  29249  unierri  29293  probun  30811  hgt750lem2  31060  poimirlem3  33743  poimirlem4  33744  ismblfin  33781  itg2addnc  33795  ibladdnclem  33797  itgaddnclem1  33799  itgaddnclem2  33800  iblabsnclem  33804  iblabsnc  33805  iblmulc2nc  33806  ftc1anclem8  33823  ftc1anc  33824  relexpaddss  38530  stoweidlem44  40782  fourierdlem42  40887  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  sqwvfoura  40966  sqwvfourb  40967  fmtno5lem4  41996  139prmALT  42039