Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01eq0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01eq0ring 19253
 Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
01eq0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 fvex 6188 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
31, 2eqeltri 2695 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
4 hashv01gt1 13116 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))
6 hasheq0 13137 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
73, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
8 ne0i 3913 . . . . . . . . 9 ( 0𝐵𝐵 ≠ ∅)
9 eqneqall 2802 . . . . . . . . 9 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
108, 9syl5com 31 . . . . . . . 8 ( 0𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
117, 10syl5bi 232 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → ((#‘𝐵) = 0 → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
12 0ring.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
131, 12ring0cl 18550 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1411, 13syl11 33 . . . . . 6 ((#‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
15 eqneqall 2802 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 1 → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
1615a1d 25 . . . . . 6 ((#‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
17 0ring01eq.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑅)
181, 17, 12ring1ne0 18572 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 10 )
1918necomd 2846 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 01 )
2019ex 450 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1 < (#‘𝐵) → 01 ))
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (#‘𝐵) → 01 )))
2221com13 88 . . . . . 6 (1 < (#‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
2314, 16, 223jaoi 1389 . . . . 5 (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
245, 23ax-mp 5 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
2524necon4d 2815 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (#‘𝐵) = 1))
2625imp 445 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (#‘𝐵) = 1)
271, 120ring 19251 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
2826, 27syldan 487 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  Vcvv 3195  ∅c0 3907  {csn 4168   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  0cc0 9921  1c1 9922   < clt 10059  #chash 13100  Basecbs 15838  0gc0g 16081  1rcur 18482  Ringcrg 18528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530 This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  19254  ldepspr  42027
 Copyright terms: Public domain W3C validator