MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cld 20589
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 3898 . . 3 ( 𝐽 ∖ ∅) = 𝐽
21topopn 20473 . 2 (𝐽 ∈ Top → ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3 0ss 3918 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
4 eqid 2604 . . . 4 𝐽 = 𝐽
54iscld2 20579 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
63, 5mpan2 702 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
72, 6mpbird 245 1 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wcel 1975  cdif 3531  wss 3534  c0 3868   cuni 4361  cfv 5785  Topctop 20454  Clsdccld 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ral 2895  df-rex 2896  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fv 5793  df-top 20458  df-cld 20570
This theorem is referenced by:  cls0  20631  indiscld  20642  iscldtop  20646  iccordt  20765  iscon2  20964  tgptsmscld  21701  mblfinlem2  32415  mblfinlem3  32416  ismblfin  32418
  Copyright terms: Public domain W3C validator