Theorem 0cnf 42167

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6562	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 6001	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 5928	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 5948	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5213	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4603	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2911	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3152	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 21608	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 21845	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 690	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 709	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∅c0 4293  {csn 4569  ^◡ccnv 5556   “ cima 5560  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  TopOnctopon 21520   Cn ccn 21834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-map 8410  df-top 21504  df-topon 21521  df-cn 21837

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  42184