Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0cnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnf 40408
Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
0cnf ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf
StepHypRef Expression
1 f0 6124 . 2 ∅:∅⟶∅
2 cnv0 5570 . . . . . 6 ∅ = ∅
32imaeq1i 5498 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4 0ima 5517 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = ∅
53, 4eqtri 2673 . . . 4 (∅ “ 𝑥) = ∅
6 0ex 4823 . . . . 5 ∅ ∈ V
76snid 4241 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
85, 7eqeltri 2726 . . 3 (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
98rgenw 2953 . 2 𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10 sn0topon 20850 . . 3 {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11 iscn 21087 . . 3 (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
1210, 10, 11mp2an 708 . 2 (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
131, 9, 12mpbir2an 975 1 ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wcel 2030  wral 2941  c0 3948  {csn 4210  ccnv 5142  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-top 20747  df-topon 20764  df-cn 21079
This theorem is referenced by:  cncfiooicc  40425
  Copyright terms: Public domain W3C validator