Theorem 0cnf 40408

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6124	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 5570	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 5498	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 5517	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2673	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 4823	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4241	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2726	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 2953	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 20850	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 21087	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 708	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 975	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∅c0 3948  {csn 4210  ^◡ccnv 5142   “ cima 5146  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-top 20747  df-topon 20764  df-cn 21079

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  40425