Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0cnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnv 41899
Description: If (/) is a complex number, then it converges to itself. (see 0ncn 10543 and its comment ; see also the comment in climlimsupcex 41926) (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
0cnv (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Proof of Theorem 0cnv
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (∅ ∈ ℂ → ∅ ∈ ℂ)
2 0zd 11981 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3 simpl 483 . . . . . . 7 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ ℂ)
4 subid 10893 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ ℂ → (∅ − ∅) = 0)
54fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = (abs‘0))
6 abs0 14633 . . . . . . . . . . 11 (abs‘0) = 0
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ℂ → (abs‘0) = 0)
85, 7eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
10 rpgt0 12389 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
1110adantl 482 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
129, 11eqbrtrd 5079 . . . . . . 7 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)
133, 12jca 512 . . . . . 6 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
1413ralrimivw 3180 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
15 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (ℤ𝑚) = (ℤ‘0))
1615raleqdv 3413 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
1716rspcev 3620 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
182, 14, 17syl2anc 584 . . . 4 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
1918ralrimiva 3179 . . 3 (∅ ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
201, 19jca 512 . 2 (∅ ∈ ℂ → (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
21 0ex 5202 . . . . 5 ∅ ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
23 0fv 6702 . . . . 5 (∅‘𝑘) = ∅
2423a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∅‘𝑘) = ∅)
2522, 24clim 14839 . . 3 (⊤ → (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))))
2625mptru 1535 . 2 (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
2720, 26sylibr 235 1 (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   < clt 10663  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  abscabs 14581  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833
This theorem is referenced by:  climlimsupcex  41926
  Copyright terms: Public domain W3C validator