MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cxpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cxpd 24655
Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxp0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
0cxpd (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxpd
StepHypRef Expression
1 cxp0d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cxpefd.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 0cxp 24611 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  𝑐ccxp 24501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-mulcl 10190  ax-i2m1 10196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-cxp 24503
This theorem is referenced by:  cxpcn3lem  24687  cxpcn3  24688  cxpaddle  24692  cxpeq  24697  amgm  24916  abvcxp  25503  padicabvcxp  25520
  Copyright terms: Public domain W3C validator