MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cyg 18215
Description: The trivial group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0cyg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem 0cyg
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . 2 (.g𝐺) = (.g𝐺)
3 simpl 473 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2621 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
51, 4grpidcl 17371 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
65adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
7 0z 11332 . . 3 0 ∈ ℤ
8 en1eqsn 8134 . . . . . . . 8 (((0g𝐺) ∈ 𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
95, 8sylan 488 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
109eleq2d 2684 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1110biimpa 501 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
12 velsn 4164 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
1311, 12sylib 208 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 = (0g𝐺))
141, 4, 2mulg0 17467 . . . . . 6 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → (0(.g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
156, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → (0(.g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
1615adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → (0(.g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
1713, 16eqtr4d 2658 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 = (0(.g𝐺)(0g𝐺)))
18 oveq1 6611 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑛(.g𝐺)(0g𝐺)) = (0(.g𝐺)(0g𝐺)))
1918eqeq2d 2631 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑥 = (𝑛(.g𝐺)(0g𝐺)) ↔ 𝑥 = (0(.g𝐺)(0g𝐺))))
2019rspcev 3295 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (0(.g𝐺)(0g𝐺))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g𝐺)(0g𝐺)))
217, 17, 20sylancr 694 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g𝐺)(0g𝐺)))
221, 2, 3, 6, 21iscygd 18210 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  cen 7896  0cc0 9880  cz 11321  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  .gcmg 17461  CycGrpccyg 18200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-cyg 18201
This theorem is referenced by:  lt6abl  18217  frgpcyg  19841
  Copyright terms: Public domain W3C validator