MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dgr 23922
Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgr (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Proof of Theorem 0dgr
Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3608 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
2 plyconst 23883 . . . 4 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
31, 2mpan 705 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
4 0nn0 11259 . . . 4 0 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
6 simpl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 0z 11340 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
8 exp0 12812 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
98oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐴 · (𝑧↑0)) = (𝐴 · 1))
10 mulid1 9989 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
119, 10sylan9eqr 2677 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = 𝐴)
12 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1311, 12eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
14 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑧𝑘) = (𝑧↑0))
1514oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝐴 · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
1615fsum1 14417 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
177, 13, 16sylancr 694 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
1817, 11eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧𝑘)) = 𝐴)
1918mpteq2dva 4709 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
20 fconstmpt 5128 . . . 4 (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
2119, 20syl6reqr 2674 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
223, 5, 6, 21dgrle 23920 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0)
23 dgrcl 23910 . . 3 ((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0)
24 nn0le0eq0 11273 . . 3 ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0 → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
253, 23, 243syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
2622, 25mpbid 222 1 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893  cle 10027  0cn0 11244  cz 11329  ...cfz 12276  cexp 12808  Σcsu 14358  Polycply 23861  degcdgr 23864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-0p 23360  df-ply 23865  df-coe 23867  df-dgr 23868
This theorem is referenced by:  0dgrb  23923  coemulc  23932  dgr0  23939  dgrmulc  23948  dgrcolem2  23951  plyremlem  23980  vieta1lem2  23987
  Copyright terms: Public domain W3C validator