Theorem 0dgr 24837

Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0dgr	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Proof of Theorem 0dgr

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3991	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		plyconst 24798	. . . 4 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
3	1, 2	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
4		0nn0 11915	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
6		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		0z 11995	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		exp0 13436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
9	8	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐴 · (𝑧↑0)) = (𝐴 · 1))
10		mulid1 10641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
11	9, 10	sylan9eqr 2880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = 𝐴)
12		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	11, 12	eqeltrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
14		oveq2 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑0))
15	14	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
16	15	fsum1 15104	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
17	7, 13, 16	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
18	17, 11	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = 𝐴)
19	18	mpteq2dva 5163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
20		fconstmpt 5616	. . . 4 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
21	19, 20	syl6reqr 2877	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
22	3, 5, 6, 21	dgrle 24835	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0)
23		dgrcl 24825	. . 3 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0)
24		nn0le0eq0 11928	. . 3 ⊢ ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0 → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
25	3, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
26	22, 25	mpbid 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   ≤ cle 10678  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  Σcsu 15044  Polycply 24776  degcdgr 24779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-0p 24273  df-ply 24780  df-coe 24782  df-dgr 24783

This theorem is referenced by:  0dgrb  24838  coemulc  24847  dgr0  24854  dgrmulc  24863  dgrcolem2  24866  plyremlem  24895  vieta1lem2  24902