Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2pr01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dig2pr01 41696
Description: The integers 0 and 1 correspond to their last bit. (Contributed by AV, 28-May-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2pr01 (𝑁 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)

Proof of Theorem 0dig2pr01
StepHypRef Expression
1 elpri 4168 . 2 (𝑁 ∈ {0, 1} → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2 2nn 11129 . . . . 5 2 ∈ ℕ
3 0z 11332 . . . . 5 0 ∈ ℤ
4 dig0 41692 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0(digit‘2)0) = 0)
52, 3, 4mp2an 707 . . . 4 (0(digit‘2)0) = 0
6 oveq2 6612 . . . 4 (𝑁 = 0 → (0(digit‘2)𝑁) = (0(digit‘2)0))
7 id 22 . . . 4 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
85, 6, 73eqtr4a 2681 . . 3 (𝑁 = 0 → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
9 2z 11353 . . . . 5 2 ∈ ℤ
10 uzid 11646 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
11 0dig1 41695 . . . . 5 (2 ∈ (ℤ‘2) → (0(digit‘2)1) = 1)
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4 (0(digit‘2)1) = 1
13 oveq2 6612 . . . 4 (𝑁 = 1 → (0(digit‘2)𝑁) = (0(digit‘2)1))
14 id 22 . . . 4 (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
1512, 13, 143eqtr4a 2681 . . 3 (𝑁 = 1 → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
168, 15jaoi 394 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
171, 16syl 17 1 (𝑁 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383   = wceq 1480  wcel 1987  {cpr 4150  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  digitcdig 41681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-dig 41682
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  41706  nn0sumshdiglem2  41708
  Copyright terms: Public domain W3C validator