Theorem 0dig2pr01 44677

Description: The integers 0 and 1 correspond to their last bit. (Contributed by AV, 28-May-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0dig2pr01	⊢ (𝑁 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)

Proof of Theorem 0dig2pr01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4592	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {0, 1} → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2		2nn 11713	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		0z 11995	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		dig0 44673	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0(digit‘2)0) = 0)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (0(digit‘2)0) = 0
6		oveq2 7167	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0(digit‘2)𝑁) = (0(digit‘2)0))
7		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
8	5, 6, 7	3eqtr4a 2885	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
9		2z 12017	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
10		uzid 12261	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11		0dig1 44676	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) → (0(digit‘2)1) = 1)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (0(digit‘2)1) = 1
13		oveq2 7167	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (0(digit‘2)𝑁) = (0(digit‘2)1))
14		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2885	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
16	8, 15	jaoi 853	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)
17	1, 16	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑁) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 843   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {cpr 4572  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541  ℕcn 11641  2c2 11695  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  digitcdig 44662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-dig 44663

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  44687  nn0sumshdiglem2  44689