Theorem 0domg 8643

Description: Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0domg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0domg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4349	. 2 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		ssdomg 8554	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ⊆ 𝐴 → ∅ ≼ 𝐴))
3	1, 2	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290   class class class wbr 5065   ≼ cdom 8506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-dom 8510

This theorem is referenced by:  dom0  8644  0sdomg  8645  0dom  8646  sdom0  8648  carddomi2  9398  wdomfil  9486  wdomnumr  9489  hashge0  13747  ufildom1  22533  harn0  39700  sn1dom  39890