Theorem 0domg 8128

Description: Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0domg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0domg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4005	. 2 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		ssdomg 8043	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ⊆ 𝐴 → ∅ ≼ 𝐴))
3	1, 2	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685   ≼ cdom 7995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-dom 7999

This theorem is referenced by:  dom0  8129  0sdomg  8130  0dom  8131  sdom0  8133  carddomi2  8834  wdomfil  8922  wdomnumr  8925  hashge0  13214  ufildom1  21777  harn0  37989