MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0iccpnf 12225
Description: 0 is a member of (0[,]+∞) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 10030 . 2 0 ∈ ℝ*
2 0le0 11054 . 2 0 ≤ 0
3 elxrge0 12223 . 2 (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 954 1 0 ∈ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017  cle 10019  [,]cicc 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-icc 12124
This theorem is referenced by:  xrge0subm  19706  itg2const2  23414  itg2splitlem  23421  itg2split  23422  itg2gt0  23433  itg2cnlem2  23435  itg2cn  23436  iblss  23477  itgle  23482  itgeqa  23486  ibladdlem  23492  iblabs  23501  iblabsr  23502  iblmulc2  23503  bddmulibl  23511  xrge0infss  29366  xrge00  29468  unitssxrge0  29725  xrge0mulc1cn  29766  esum0  29889  esumpad  29895  esumpad2  29896  esumrnmpt2  29908  esumpinfval  29913  esummulc1  29921  ddemeas  30077  oms0  30137  itg2gt0cn  33094  ibladdnclem  33095  iblabsnc  33103  iblmulc2nc  33104  bddiblnc  33109  ftc1anclem7  33120  ftc1anclem8  33121  ftc1anc  33122  iblsplit  39486  gsumge0cl  39892  sge0cl  39902  sge0ss  39933  0ome  40047  ovnf  40081
  Copyright terms: Public domain W3C validator