MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0iccpnf 12476
Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 10278 . 2 0 ∈ ℝ*
2 0le0 11302 . 2 0 ≤ 0
3 elxrge0 12474 . 2 (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 993 1 0 ∈ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  *cxr 10265  cle 10267  [,]cicc 12371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-icc 12375
This theorem is referenced by:  xrge0subm  19989  itg2const2  23707  itg2splitlem  23714  itg2split  23715  itg2gt0  23726  itg2cnlem2  23728  itg2cn  23729  iblss  23770  itgle  23775  itgeqa  23779  ibladdlem  23785  iblabs  23794  iblabsr  23795  iblmulc2  23796  bddmulibl  23804  xrge0infss  29834  xrge00  29995  unitssxrge0  30255  xrge0mulc1cn  30296  esum0  30420  esumpad  30426  esumpad2  30427  esumrnmpt2  30439  esumpinfval  30444  esummulc1  30452  ddemeas  30608  oms0  30668  itg2gt0cn  33778  ibladdnclem  33779  iblabsnc  33787  iblmulc2nc  33788  bddiblnc  33793  ftc1anclem7  33804  ftc1anclem8  33805  ftc1anc  33806  iblsplit  40685  gsumge0cl  41091  sge0cl  41101  sge0ss  41132  0ome  41249  ovnf  41283
  Copyright terms: Public domain W3C validator