Theorem 0e0iccpnf 12841

Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0iccpnf	⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10682	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		0le0 11732	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elxrge0 12839	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 709	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670  [,]cicc 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-icc 12739

This theorem is referenced by:  xrge0subm  20580  itg2const2  24336  itg2splitlem  24343  itg2split  24344  itg2gt0  24355  itg2cnlem2  24357  itg2cn  24358  iblss  24399  itgle  24404  itgeqa  24408  ibladdlem  24414  iblabs  24423  iblabsr  24424  iblmulc2  24425  bddmulibl  24433  xrge0infss  30478  xrge00  30668  unitssxrge0  31138  xrge0mulc1cn  31179  esum0  31303  esumpad  31309  esumpad2  31310  esumrnmpt2  31322  esumpinfval  31327  esummulc1  31335  ddemeas  31490  oms0  31550  itg2gt0cn  34941  ibladdnclem  34942  iblabsnc  34950  iblmulc2nc  34951  bddiblnc  34956  ftc1anclem7  34967  ftc1anclem8  34968  ftc1anc  34969  iblsplit  42244  gsumge0cl  42647  sge0cl  42657  sge0ss  42688  0ome  42805  ovnf  42839