MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0icopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0icopnf 12224
Description: 0 is a member of (0[,)+∞) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0icopnf 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf
StepHypRef Expression
1 0re 9984 . 2 0 ∈ ℝ
2 0le0 11054 . 2 0 ≤ 0
3 elrege0 12220 . 2 (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 954 1 0 ∈ (0[,)+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  cle 10019  [,)cico 12119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ico 12123
This theorem is referenced by:  fsumge0  14454  fprodge0  14649  rege0subm  19721  rge0srg  19736  itg2cnlem1  23434  ibladdlem  23492  itgaddlem1  23495  iblabslem  23500  iblabs  23501  iblmulc2  23503  itgmulc2lem1  23504  bddmulibl  23511  itggt0  23514  itgcn  23515  cxpcn3  24389  rlimcnp3  24594  efrlim  24596  fsumrp0cl  29477  xrge0slmod  29626  esumpfinvallem  29914  ibladdnclem  33095  itgaddnclem1  33097  iblabsnclem  33102  iblabsnc  33103  iblmulc2nc  33104  itgmulc2nclem1  33105  itggt0cn  33111  ftc1anclem8  33121  sge0z  39896  sge0tsms  39901  hoidmvcl  40100  dig0  41689
  Copyright terms: Public domain W3C validator