Theorem 0e0icopnf 12840

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10637	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 11732	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 12836	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 709	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666   ≤ cle 10670  [,)cico 12734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12738

This theorem is referenced by:  fsumge0  15144  rege0subm  20595  rge0srg  20610  itg2cnlem1  24356  ibladdlem  24414  itgaddlem1  24417  iblabslem  24422  iblabs  24423  iblmulc2  24425  itgmulc2lem1  24426  bddmulibl  24433  itggt0  24436  itgcn  24437  cxpcn3  25323  rlimcnp3  25539  efrlim  25541  fsumrp0cl  30677  xrge0slmod  30912  esumpfinvallem  31328  ibladdnclem  34942  itgaddnclem1  34944  iblabsnclem  34949  iblabsnc  34950  iblmulc2nc  34951  itgmulc2nclem1  34952  itggt0cn  34958  ftc1anclem8  34968  sge0z  42651  sge0tsms  42656  hoidmvcl  42858  dig0  44660