Theorem 0elcarsg 30497

Description: The empty set is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
0elcarsg	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem 0elcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4005	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑂)
3		in0 4001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ ∅) = ∅
4	3	fveq2i 6232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = (𝑀‘∅)
5		baselcarsg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	4, 5	syl5eq 2697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = 0)
7		dif0 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ ∅) = 𝑒
8	7	fveq2i 6232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒))
10	6, 9	oveq12d 6708	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
12		iccssxr 12294	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
13		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
14	13	ffvelrnda 6399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 14	sseldi 3634	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
16		xaddid2 12111	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
18	11, 17	eqtrd 2685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
19	18	ralrimiva 2995	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
20		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
21	20, 13	elcarsg 30495	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∅ ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))))
22	2, 19, 21	mpbir2and 977	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  ℝ^*cxr 10111   +_𝑒 cxad 11982  [,]cicc 12216  toCaraSigaccarsg 30491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-xadd 11985  df-icc 12220  df-carsg 30492

This theorem is referenced by:  carsggect  30508  omsmeas  30513