MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elfz 12992
Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
0elfz (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz
StepHypRef Expression
1 0nn0 11900 . . 3 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3 id 22 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
4 nn0ge0 11910 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5 elfz2nn0 12986 . 2 (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
62, 3, 4, 5syl3anbrc 1335 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  cle 10664  0cn0 11885  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13012  bcn0  13658  pfxmpt  14028  pfxfv  14032  pfxswrd  14056  swrdpfx  14057  pfxpfx  14058  pfxccatpfx1  14086  pfxccatpfx2  14087  pfxco  14188  chfacfscmulgsum  21396  chfacfpmmulgsum  21400  cayhamlem1  21402  wlkepvtx  27369  pthdadjvtx  27438  spthdep  27442  spthonepeq  27460  crctcsh  27529  wwlknllvtx  27551  wpthswwlks2on  27667  erclwwlknref  27775  0wlkonlem1  27824  upgr3v3e3cycl  27886  upgr4cycl4dv4e  27891  eupth2eucrct  27923  konigsbergiedgw  27954  konigsberglem1  27958  konigsberglem2  27959  konigsberglem3  27960  konigsberglem4  27961  cycpmco2f1  30693  circlemethhgt  31813  f1resfz0f1d  32258  pthhashvtx  32271  poimirlem5  34778  poimirlem20  34793  poimirlem22  34795  poimirlem28  34801  poimirlem32  34805  iccpartigtl  43460  iccpartlt  43461  iccpartgel  43466  iccpartrn  43467  iccelpart  43470  iccpartiun  43471  iccpartdisj  43474
  Copyright terms: Public domain W3C validator