MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elfz 12262
Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
0elfz (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz
StepHypRef Expression
1 0nn0 11156 . . 3 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3 id 22 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
4 nn0ge0 11167 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5 elfz2nn0 12257 . 2 (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
62, 3, 4, 5syl3anbrc 1238 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  0cc0 9792  cle 9931  0cn0 11141  ...cfz 12154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155
This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  12282  bcn0  12916  swrd0f  13227  swrdid  13228  swrd0fv  13239  swrd0swrd  13261  swrdswrd0  13262  swrd0swrd0  13263  wrdcctswrd  13265  swrdccatwrd  13268  wrdeqs1cat  13274  swrdccatin12lem2  13288  swrdccat3a  13293  cshwlen  13344  chfacfscmulgsum  20431  chfacfpmmulgsum  20435  cayhamlem1  20437  spthonepeq  25910  cyclnspth  25952  cyclispthon  25954  erclwwlknref  26146  poimirlem5  32367  poimirlem20  32382  poimirlem22  32384  poimirlem28  32390  poimirlem32  32394  iccpartigtl  39745  iccpartlt  39746  iccpartgel  39751  iccpartrn  39752  iccelpart  39755  iccpartiun  39756  iccpartdisj  39759  pfxmpt  40034  pfxfv  40046  pfxpfx  40062  pfxccatpfx1  40074  pfxccatpfx2  40075  pfxco  40085  1wlkepvtx  40849  pthdadjvtx  40917  spthdep  40921  spthonepeq-av  40939  crctcsh  41008  erclwwlksnref  41234  0wlkOnlem1  41267  upgr3v3e3cycl  41328  upgr4cycl4dv4e  41333  eupth2eucrct  41366  konigsbergiedgw  41397  konigsbergiedgwOLD  41398  konigsberglem1  41403  konigsberglem2  41404  konigsberglem3  41405  konigsberglem4  41406
  Copyright terms: Public domain W3C validator