MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ellim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ellim 5746
Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
0ellim (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim
StepHypRef Expression
1 nlim0 5742 . . . 4 ¬ Lim ∅
2 limeq 5694 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
31, 2mtbiri 317 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
43necon2ai 2819 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 limord 5743 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
6 ord0eln0 5738 . . 3 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
75, 6syl 17 . 2 (Lim 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
84, 7mpbird 247 1 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3891  Ord word 5681  Lim wlim 5683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685  df-lim 5687
This theorem is referenced by:  limuni3  6999  peano1  7032  oe1m  7570  oalimcl  7585  oaass  7586  oarec  7587  omlimcl  7603  odi  7604  oen0  7611  oewordri  7617  oelim2  7620  oeoalem  7621  oeoelem  7623  limensuci  8080  rankxplim2  8687  rankxplim3  8688  r1limwun  9502
  Copyright terms: Public domain W3C validator