MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elunit 12275
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 10025 . 2 0 ∈ ℝ
2 0le0 11095 . 2 0 ≤ 0
3 0le1 10536 . 2 0 ≤ 1
4 1re 10024 . . 3 1 ∈ ℝ
51, 4elicc2i 12224 . 2 (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
61, 2, 3, 5mpbir3an 1242 1 0 ∈ (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922  cle 10060  [,]cicc 12163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-icc 12167
This theorem is referenced by:  xrhmeo  22726  htpycom  22756  htpyid  22757  htpyco1  22758  htpyco2  22759  htpycc  22760  phtpy01  22765  phtpycom  22768  phtpyid  22769  phtpyco2  22770  phtpycc  22771  reparphti  22778  pcocn  22798  pcohtpylem  22800  pcoptcl  22802  pcopt  22803  pcopt2  22804  pcoass  22805  pcorevcl  22806  pcorevlem  22807  pi1xfrf  22834  pi1xfr  22836  pi1xfrcnvlem  22837  pi1xfrcnv  22838  pi1cof  22840  pi1coghm  22842  dvlipcn  23738  lgamgulmlem2  24737  ttgcontlem1  25746  brbtwn2  25766  axsegconlem1  25778  axpaschlem  25801  axcontlem7  25831  axcontlem8  25832  xrge0iifcnv  29953  xrge0iifiso  29955  xrge0iifhom  29957  cnpconn  31186  pconnconn  31187  txpconn  31188  ptpconn  31189  indispconn  31190  connpconn  31191  sconnpi1  31195  txsconnlem  31196  txsconn  31197  cvxpconn  31198  cvxsconn  31199  cvmliftlem14  31253  cvmlift2lem2  31260  cvmlift2lem3  31261  cvmlift2lem8  31266  cvmlift2lem12  31270  cvmlift2lem13  31271  cvmliftphtlem  31273  cvmliftpht  31274  cvmlift3lem1  31275  cvmlift3lem2  31276  cvmlift3lem4  31278  cvmlift3lem5  31279  cvmlift3lem6  31280  cvmlift3lem9  31283
  Copyright terms: Public domain W3C validator