Theorem 0ewlk 41387

Description: The empty set (empty sequence of edges) is an s-walk of edges for all s. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0ewlk	⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Proof of Theorem 0ewlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 13044	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)
2		ral0 3931	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
3		hash0 12884	. . . . . . 7 ⊢ (#‘∅) = 0
4	3	oveq2i 6437	. . . . . 6 ⊢ (1..^(#‘∅)) = (1..^0)
5		0le1 10300	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
6		1z 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		0z 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	6, 7	pm3.2i 469	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
9		fzon 12226	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅)
11	5, 10	mpbi 218	. . . . . 6 ⊢ (1..^0) = ∅
12	4, 11	eqtri 2536	. . . . 5 ⊢ (1..^(#‘∅)) = ∅
13	12	raleqi 3023	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
14	2, 13	mpbir 219	. . 3 ⊢ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
15	1, 14	pm3.2i 469	. 2 ⊢ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
16		0ex 4617	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
17		eqid 2514	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
18	17	isewlk 40909	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ ∅ ∈ V) → (∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))))
19	16, 18	mp3an3 1404	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))))
20	15, 19	mpbiri 246	1 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1938  ∀wral 2800  Vcvv 3077   ∩ cin 3443  ∅c0 3777   class class class wbr 4481  dom cdm 4932  ‘cfv 5689  (class class class)co 6426  0cc0 9691  1c1 9692   ≤ cle 9830   − cmin 10017  ℤcz 11118  ..^cfzo 12202  #chash 12847  Word cword 13005  ℕ₀^*cxnn0 40302  iEdgciedg 40335   EdgWalks cewlks 40900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-hash 12848  df-word 13013  df-ewlks 40904

This theorem is referenced by: (None)