Theorem 0ewlk 27092

Description: The empty set (empty sequence of edges) is an s-walk of edges for all s. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0ewlk	⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Proof of Theorem 0ewlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 13362	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)
2		ral0 4109	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
3		hash0 13196	. . . . . . 7 ⊢ (#‘∅) = 0
4	3	oveq2i 6701	. . . . . 6 ⊢ (1..^(#‘∅)) = (1..^0)
5		0le1 10589	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
6		1z 11445	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		0z 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	6, 7	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
9		fzon 12528	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅)
11	5, 10	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ (1..^0) = ∅
12	4, 11	eqtri 2673	. . . . 5 ⊢ (1..^(#‘∅)) = ∅
13	12	raleqi 3172	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
14	2, 13	mpbir 221	. . 3 ⊢ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
15	1, 14	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
16		0ex 4823	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
17		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
18	17	isewlk 26554	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ ∅ ∈ V) → (∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))))
19	16, 18	mp3an3 1453	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘∅))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))))
20	15, 19	mpbiri 248	1 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∩ cin 3606  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕ₀^*cxnn0 11401  ℤcz 11415  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  iEdgciedg 25920   EdgWalks cewlks 26547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-ewlks 26550

This theorem is referenced by: (None)