Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fallfac 14693
 Description: The value of the zero falling factorial at natural 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
0fallfac (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0fallfac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9976 . . 3 0 ∈ ℂ
2 nnnn0 11243 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 fallfacval 14665 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘))
41, 2, 3sylancr 694 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘))
5 nnm1nn0 11278 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6 nn0uz 11666 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
75, 6syl6eleq 2708 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
8 elfzelz 12284 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
98zcnd 11427 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10 subcl 10224 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
111, 9, 10sylancr 694 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
1211adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
13 oveq2 6612 . . . 4 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
14 0m0e0 11074 . . . 4 (0 − 0) = 0
1513, 14syl6eq 2671 . . 3 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
167, 12, 15fprod1p 14623 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘)))
17 fzfid 12712 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
18 elfzelz 12284 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1918zcnd 11427 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
201, 19, 10sylancr 694 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
2120adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
2217, 21fprodcl 14607 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘) ∈ ℂ)
2322mul02d 10178 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0 · ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘)) = 0)
244, 16, 233eqtrd 2659 1 (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  ∏cprod 14560   FallFac cfallfac 14660 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-fallfac 14663 This theorem is referenced by:  0risefac  14694
 Copyright terms: Public domain W3C validator