Theorem 0fin 8740

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
0fin	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7595	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		ssid 3989	. 2 ⊢ ∅ ⊆ ∅
3		ssnnfi 8731	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∅ ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 690	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ωcom 7574  Fincfn 8503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-om 7575  df-en 8504  df-fin 8507

This theorem is referenced by:  nfielex  8741  xpfi  8783  fnfi  8790  iunfi  8806  fczfsuppd  8845  fsuppun  8846  0fsupp  8849  r1fin  9196  acndom  9471  numwdom  9479  ackbij1lem18  9653  sdom2en01  9718  fin23lem26  9741  isfin1-3  9802  gchxpidm  10085  fzfi  13334  fzofi  13336  hasheq0  13718  hashxp  13789  lcmf0  15972  0hashbc  16337  acsfn0  16925  isdrs2  17543  fpwipodrs  17768  symgfisg  18590  mplsubg  20211  mpllss  20212  psrbag0  20268  dsmm0cl  20878  mat0dimbas0  21069  mat0dim0  21070  mat0dimid  21071  mat0dimscm  21072  mat0dimcrng  21073  mat0scmat  21141  mavmul0  21155  mavmul0g  21156  mdet0pr  21195  m1detdiag  21200  d0mat2pmat  21340  chpmat0d  21436  fctop  21606  cmpfi  22010  bwth  22012  comppfsc  22134  ptbasid  22177  cfinfil  22495  ufinffr  22531  fin1aufil  22534  alexsubALTlem2  22650  alexsubALTlem4  22652  ptcmplem2  22655  tsmsfbas  22730  xrge0gsumle  23435  xrge0tsms  23436  fta1  24891  uhgr0edgfi  27016  fusgrfisbase  27104  vtxdg0e  27250  wwlksnfi  27678  wwlksnfiOLD  27679  clwwlknfiOLD  27818  hashxpe  30523  xrge0tsmsd  30687  esumnul  31302  esum0  31303  esumcst  31317  esumsnf  31318  esumpcvgval  31332  sibf0  31587  eulerpartlemt  31624  derang0  32411  topdifinffinlem  34622  matunitlindf  34884  0totbnd  35045  heiborlem6  35088  mzpcompact2lem  39341  rp-isfinite6  39877  0pwfi  41314  fouriercn  42510  rrxtopn0  42571  salexct  42610  sge0rnn0  42643  sge00  42651  sge0sn  42654  ovn0val  42825  ovn02  42843  hoidmv0val  42858  hoidmvle  42875  hoiqssbl  42900  von0val  42946  vonhoire  42947  vonioo  42957  vonicc  42960  vonsn  42966  lcoc0  44470  lco0  44475