Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0frgp 18173
 Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0frgp 𝐵 ≈ 1𝑜

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptresid 5444 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥) = ( I ↾ 𝐵)
2 0ex 4781 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
3 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (freeGrp‘∅)
43frgpgrp 18156 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
52, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ Grp
6 f0 6073 . . . . . . . . . . 11 ∅:∅⟶𝐵
7 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
9 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
108, 9, 3, 7vrgpf 18162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
11 ffn 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
122, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (varFGrp‘∅) Fn ∅
13 fn0 5998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
1412, 13mpbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 (varFGrp‘∅) = ∅
1514eqcomi 2629 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = (varFGrp‘∅)
163, 7, 15frgpup3 18172 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
175, 2, 6, 16mp3an 1422 . . . . . . . . . 10 ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
18 reurmo 3156 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
207idghm 17656 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
215, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
22 tru 1485 . . . . . . . . . 10
2321, 22pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
24 eqid 2620 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2524, 70ghm 17655 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
265, 5, 25mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
2726, 22pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
28 co02 5637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∘ ∅) = ∅
2928bitru 1494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐵 × {(0g𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3230, 31rmoi 3523 . . . . . . . . 9 ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)}))
3319, 23, 27, 32mp3an 1422 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)})
34 fconstmpt 5153 . . . . . . . 8 (𝐵 × {(0g𝐺)}) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
351, 33, 343eqtri 2646 . . . . . . 7 (𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
36 mpteqb 6285 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 𝑥𝐵 → ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)))
37 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
3836, 37mprg 2923 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺))
3935, 38mpbi 220 . . . . . 6 𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)
4039rspec 2928 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 = (0g𝐺))
41 velsn 4184 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
4240, 41sylibr 224 . . . 4 (𝑥𝐵𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
4342ssriv 3599 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}
447, 24grpidcl 17431 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
455, 44ax-mp 5 . . . 4 (0g𝐺) ∈ 𝐵
46 snssi 4330 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
4745, 46ax-mp 5 . . 3 {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵
4843, 47eqssi 3611 . 2 𝐵 = {(0g𝐺)}
49 fvex 6188 . . 3 (0g𝐺) ∈ V
5049ensn1 8005 . 2 {(0g𝐺)} ≈ 1𝑜
5148, 50eqbrtri 4665 1 𝐵 ≈ 1𝑜
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481  ⊤wtru 1482   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ∃!wreu 2911  ∃*wrmo 2912  Vcvv 3195   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907  {csn 4168   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720   I cid 5013   × cxp 5102   ↾ cres 5106   ∘ ccom 5108   Fn wfn 5871  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  1𝑜c1o 7538   ≈ cen 7937  Basecbs 15838  0gc0g 16081  Grpcgrp 17403   GrpHom cghm 17638   ~FG cefg 18100  freeGrpcfrgp 18101  varFGrpcvrgp 18102 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-ot 4177  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-word 13282  df-lsw 13283  df-concat 13284  df-s1 13285  df-substr 13286  df-splice 13287  df-reverse 13288  df-s2 13574  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-imas 16149  df-qus 16150  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-frmd 17367  df-vrmd 17368  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-ghm 17639  df-efg 18103  df-frgp 18104  df-vrgp 18105 This theorem is referenced by:  frgpcyg  19903
 Copyright terms: Public domain W3C validator