MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0frgp 17957
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0frgp 𝐵 ≈ 1𝑜

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptresid 5358 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥) = ( I ↾ 𝐵)
2 0ex 4709 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
3 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (freeGrp‘∅)
43frgpgrp 17940 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
52, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ Grp
6 f0 5980 . . . . . . . . . . 11 ∅:∅⟶𝐵
7 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
9 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
108, 9, 3, 7vrgpf 17946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
11 ffn 5940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
122, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (varFGrp‘∅) Fn ∅
13 fn0 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
1412, 13mpbi 218 . . . . . . . . . . . . 13 (varFGrp‘∅) = ∅
1514eqcomi 2614 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = (varFGrp‘∅)
163, 7, 15frgpup3 17956 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
175, 2, 6, 16mp3an 1415 . . . . . . . . . 10 ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
18 reurmo 3133 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
207idghm 17440 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
215, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
22 tru 1478 . . . . . . . . . 10
2321, 22pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
24 eqid 2605 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2524, 70ghm 17439 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
265, 5, 25mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
2726, 22pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
28 co02 5548 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∘ ∅) = ∅
2928bitru 1486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐵 × {(0g𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3230, 31rmoi 3491 . . . . . . . . 9 ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)}))
3319, 23, 27, 32mp3an 1415 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)})
34 fconstmpt 5071 . . . . . . . 8 (𝐵 × {(0g𝐺)}) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
351, 33, 343eqtri 2631 . . . . . . 7 (𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
36 mpteqb 6188 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 𝑥𝐵 → ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)))
37 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
3836, 37mprg 2905 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺))
3935, 38mpbi 218 . . . . . 6 𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)
4039rspec 2910 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 = (0g𝐺))
41 velsn 4136 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
4240, 41sylibr 222 . . . 4 (𝑥𝐵𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
4342ssriv 3567 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}
447, 24grpidcl 17215 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
455, 44ax-mp 5 . . . 4 (0g𝐺) ∈ 𝐵
46 snssi 4275 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
4745, 46ax-mp 5 . . 3 {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵
4843, 47eqssi 3579 . 2 𝐵 = {(0g𝐺)}
49 fvex 6094 . . 3 (0g𝐺) ∈ V
5049ensn1 7879 . 2 {(0g𝐺)} ≈ 1𝑜
5148, 50eqbrtri 4594 1 𝐵 ≈ 1𝑜
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1975  wral 2891  ∃!wreu 2893  ∃*wrmo 2894  Vcvv 3168  wss 3535  c0 3869  {csn 4120   class class class wbr 4573  cmpt 4633   I cid 4934   × cxp 5022  cres 5026  ccom 5028   Fn wfn 5781  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  1𝑜c1o 7413  cen 7811  Basecbs 15637  0gc0g 15865  Grpcgrp 17187   GrpHom cghm 17422   ~FG cefg 17884  freeGrpcfrgp 17885  varFGrpcvrgp 17886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-ec 7604  df-qs 7608  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-hash 12931  df-word 13096  df-lsw 13097  df-concat 13098  df-s1 13099  df-substr 13100  df-splice 13101  df-reverse 13102  df-s2 13386  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-imas 15933  df-qus 15934  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-submnd 17101  df-frmd 17151  df-vrmd 17152  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-ghm 17423  df-efg 17887  df-frgp 17888  df-vrgp 17889
This theorem is referenced by:  frgpcyg  19682
  Copyright terms: Public domain W3C validator