MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fsupp 8249
Description: The empty set is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
0fsupp (𝑍𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Proof of Theorem 0fsupp
StepHypRef Expression
1 supp0 7252 . . 3 (𝑍𝑉 → (∅ supp 𝑍) = ∅)
2 0fin 8140 . . 3 ∅ ∈ Fin
31, 2syl6eqel 2706 . 2 (𝑍𝑉 → (∅ supp 𝑍) ∈ Fin)
4 fun0 5917 . . 3 Fun ∅
5 0ex 4755 . . 3 ∅ ∈ V
6 funisfsupp 8232 . . 3 ((Fun ∅ ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
74, 5, 6mp3an12 1411 . 2 (𝑍𝑉 → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
83, 7mpbird 247 1 (𝑍𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1987  Vcvv 3189  c0 3896   class class class wbr 4618  Fun wfun 5846  (class class class)co 6610   supp csupp 7247  Fincfn 7907   finSupp cfsupp 8227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-supp 7248  df-en 7908  df-fin 7911  df-fsupp 8228
This theorem is referenced by:  lco0  41530
  Copyright terms: Public domain W3C validator