MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fv 6184
Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
0fv (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv
StepHypRef Expression
1 noel 3895 . . 3 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 dm0 5299 . . . 4 dom ∅ = ∅
32eleq2i 2690 . . 3 (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
41, 3mtbir 313 . 2 ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5 ndmfv 6175 . 2 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
64, 5ax-mp 5 1 (∅‘𝐴) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3891  dom cdm 5074  cfv 5847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-nul 4749  ax-pow 4803
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fv 5855
This theorem is referenced by:  fv2prc  6185  csbfv12  6188  0ov  6635  csbov123  6640  csbov  6641  elovmpt3imp  6843  bropopvvv  7200  bropfvvvvlem  7201  itunisuc  9185  itunitc1  9186  str0  15832  ressbas  15851  cntrval  17673  cntzval  17675  cntzrcl  17681  sralem  19096  srasca  19100  sravsca  19101  sraip  19102  rlmval  19110  opsrle  19394  opsrbaslem  19396  opsrbaslemOLD  19397  mpfrcl  19437  evlval  19443  psr1val  19475  vr1val  19481  chrval  19792  ocvval  19930  elocv  19931  iscnp2  20953  resvsca  29615  mrsubfval  31113  msubfval  31129  poimirlem28  33069
  Copyright terms: Public domain W3C validator