MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0hashbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0hashbc 15638
Description: There are no subsets of the empty set with size greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})
Assertion
Ref Expression
0hashbc (𝑁 ∈ ℕ → (∅𝐶𝑁) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝑁,𝑎,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)

Proof of Theorem 0hashbc
StepHypRef Expression
1 0fin 8135 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2 nnnn0 11246 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 ramval.c . . . . 5 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})
43hashbc2 15637 . . . 4 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(∅𝐶𝑁)) = ((#‘∅)C𝑁))
51, 2, 4sylancr 694 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(∅𝐶𝑁)) = ((#‘∅)C𝑁))
6 hash0 13101 . . . . 5 (#‘∅) = 0
76oveq1i 6617 . . . 4 ((#‘∅)C𝑁) = (0C𝑁)
8 bc0k 13041 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0C𝑁) = 0)
97, 8syl5eq 2667 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((#‘∅)C𝑁) = 0)
105, 9eqtrd 2655 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(∅𝐶𝑁)) = 0)
11 ovex 6635 . . 3 (∅𝐶𝑁) ∈ V
12 hasheq0 13097 . . 3 ((∅𝐶𝑁) ∈ V → ((#‘(∅𝐶𝑁)) = 0 ↔ (∅𝐶𝑁) = ∅))
1311, 12ax-mp 5 . 2 ((#‘(∅𝐶𝑁)) = 0 ↔ (∅𝐶𝑁) = ∅)
1410, 13sylib 208 1 (𝑁 ∈ ℕ → (∅𝐶𝑁) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186  c0 3893  𝒫 cpw 4132  cfv 5849  (class class class)co 6607  cmpt2 6609  Fincfn 7902  0cc0 9883  cn 10967  0cn0 11239  Ccbc 13032  #chash 13060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-seq 12745  df-fac 13004  df-bc 13033  df-hash 13061
This theorem is referenced by:  ramz2  15655
  Copyright terms: Public domain W3C validator