Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0hf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0hf 31926
Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0hf ∅ ∈ Hf

Proof of Theorem 0hf
StepHypRef Expression
1 peano1 7032 . . . 4 ∅ ∈ ω
2 peano2 7033 . . . 4 (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 . . 3 suc ∅ ∈ ω
4 0elpw 4794 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5 0elon 5737 . . . . 5 ∅ ∈ On
6 r1suc 8577 . . . . 5 (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
84, 7eleqtrri 2697 . . 3 ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
109eleq2d 2684 . . . 4 (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
1110rspcev 3295 . . 3 ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
123, 8, 11mp2an 707 . 2 𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥)
13 elhf 31923 . 2 (∅ ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
1412, 13mpbir 221 1 ∅ ∈ Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  c0 3891  𝒫 cpw 4130  Oncon0 5682  suc csuc 5684  cfv 5847  ωcom 7012  𝑅1cr1 8569   Hf chf 31921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-r1 8571  df-hf 31922
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator