MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0le1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0le1 10400
Description: 0 is less than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0le1 0 ≤ 1

Proof of Theorem 0le1
StepHypRef Expression
1 0re 9896 . 2 0 ∈ ℝ
2 1re 9895 . 2 1 ∈ ℝ
3 0lt1 10399 . 2 0 < 1
41, 2, 3ltleii 10011 1 0 ≤ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4577  0cc0 9792  1c1 9793  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120
This theorem is referenced by:  lemulge11  10734  0le2  10958  1eluzge0  11564  x2times  11958  0elunit  12117  1elunit  12118  fldiv4p1lem1div2  12453  1mod  12519  expge0  12713  expge1  12714  faclbnd3  12896  faclbnd4lem1  12897  hashsnle1  13018  hashgt12el  13022  hashgt12el2  13023  sqrlem1  13777  sqrt1  13806  sqrt2gt1lt2  13809  sqrtm1  13810  abs1  13831  rlimno1  14178  harmonic  14376  georeclim  14388  geoisumr  14394  geoihalfsum  14399  fprodge0  14509  fprodge1  14511  ege2le3  14605  sinbnd  14695  cosbnd  14696  cos2bnd  14703  nn0oddm1d2  14885  flodddiv4  14921  sqnprm  15198  zsqrtelqelz  15250  modprm0  15294  pythagtriplem3  15307  prmolefac  15534  abvneg  18603  gzrngunitlem  19576  rge0srg  19582  dscmet  22128  nmoid  22288  iccpnfcnv  22482  iccpnfhmeo  22483  xrhmeo  22484  ncvs1  22691  vitalilem4  23103  vitalilem5  23104  aalioulem3  23810  dvradcnv  23896  abelth2  23917  tanregt0  24006  efif1olem3  24011  dvlog2lem  24115  cxpge0  24146  cxpaddlelem  24209  bndatandm  24373  atans2  24375  cxp2lim  24420  scvxcvx  24429  logdiflbnd  24438  fsumharmonic  24455  lgamgulmlem2  24473  lgamgulmlem3  24474  lgamgulmlem5  24476  mule1  24591  sqff1o  24625  ppiub  24646  dchrabs2  24704  zabsle1  24738  lgslem2  24740  lgsfcl2  24745  lgsdir2lem1  24767  lgsne0  24777  lgsdinn0  24787  m1lgs  24830  chtppilim  24881  rpvmasumlem  24893  dchrisum0flblem1  24914  dchrisum0flblem2  24915  mulog2sumlem2  24941  pntlemb  25003  ostth3  25044  axcontlem2  25563  0pth  25866  constr3trllem3  25946  nv1  26709  nmosetn0  26810  nmoo0  26836  norm1  27296  nmopsetn0  27914  nmfnsetn0  27927  nmopge0  27960  nmfnge0  27976  nmop0  28035  nmfn0  28036  nmcexi  28075  hstle1  28275  strlem1  28299  strlem5  28304  jplem1  28317  nn0sqeq1  28707  xrsmulgzz  28815  xrge0slmod  28981  unitssxrge0  29080  xrge0iifcnv  29113  xrge0iifiso  29115  xrge0iifhom  29117  nexple  29205  ddemeas  29432  ballotlem2  29683  ballotlem4  29693  ballotlemic  29701  ballotlem1c  29702  signswch  29770  signsvf0  29789  cvmliftlem13  30338  knoppndvlem11  31489  knoppndvlem18  31496  poimirlem23  32405  dvasin  32469  areacirclem1  32473  cntotbnd  32568  pell1qrge1  36255  pell1qrgaplem  36258  pell14qrgapw  36261  pellqrex  36264  pellfundgt1  36268  rmspecnonsq  36293  rmspecfund  36295  rmspecpos  36302  monotoddzzfi  36328  jm2.23  36384  ioodvbdlimc1lem2  38626  ioodvbdlimc2lem  38628  stoweidlem1  38698  stoweidlem11  38708  stoweidlem18  38715  stoweidlem34  38731  stoweidlem38  38735  stoweidlem55  38752  wallispi2lem1  38768  stirlinglem1  38771  stirlinglem11  38781  stirlinglem13  38783  fourierdlem11  38815  fourierdlem15  38819  fourierdlem39  38843  fourierdlem41  38845  fourierdlem48  38851  fourierdlem79  38882  ovn0lem  39259  hoidmvlelem2  39290  hoidmvlelem4  39292  smfmullem4  39483  iccpartgt  39770  flsqrt  39851  tgblthelfgott  40034  tgoldbach  40037  tgblthelfgottOLD  40041  tgoldbachOLD  40044  0ewlk  41284  0pth-av  41295  nn0eo  42118
  Copyright terms: Public domain W3C validator