MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0le1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0le1 11151
Description: 0 is less than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0le1 0 ≤ 1

Proof of Theorem 0le1
StepHypRef Expression
1 0re 10631 . 2 0 ∈ ℝ
2 1re 10629 . 2 1 ∈ ℝ
3 0lt1 11150 . 2 0 < 1
41, 2, 3ltleii 10751 1 0 ≤ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 5057  0cc0 10525  1c1 10526  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  lemulge11  11490  0le2  11727  1eluzge0  12280  x2times  12680  0elunit  12843  1elunit  12844  fldiv4p1lem1div2  13193  1mod  13259  expge0  13453  expge1  13454  faclbnd3  13640  faclbnd4lem1  13641  hashsnle1  13766  hashgt12el  13771  hashgt12el2  13772  sqrlem1  14590  sqrt1  14619  sqrt2gt1lt2  14622  sqrtm1  14623  abs1  14645  rlimno1  14998  harmonic  15202  georeclim  15216  geoisumr  15222  fprodge0  15335  fprodge1  15337  ege2le3  15431  sinbnd  15521  cosbnd  15522  cos2bnd  15529  nn0oddm1d2  15724  flodddiv4  15752  sqnprm  16034  zsqrtelqelz  16086  modprm0  16130  pythagtriplem3  16143  prmolefac  16370  abvneg  19534  gzrngunitlem  20538  rge0srg  20544  dscmet  23109  nmoid  23278  iccpnfcnv  23475  iccpnfhmeo  23476  xrhmeo  23477  ncvs1  23688  vitalilem4  24139  vitalilem5  24140  aalioulem3  24850  dvradcnv  24936  abelth2  24957  tanregt0  25050  efif1olem3  25055  dvlog2lem  25162  cxpge0  25193  cxpaddlelem  25259  bndatandm  25434  atans2  25436  cxp2lim  25481  scvxcvx  25490  logdiflbnd  25499  fsumharmonic  25516  lgamgulmlem2  25534  lgamgulmlem3  25535  lgamgulmlem5  25537  mule1  25652  sqff1o  25686  ppiub  25707  dchrabs2  25765  zabsle1  25799  lgslem2  25801  lgsfcl2  25806  lgsdir2lem1  25828  lgsne0  25838  lgsdinn0  25848  m1lgs  25891  chtppilim  25978  rpvmasumlem  25990  dchrisum0flblem1  26011  dchrisum0flblem2  26012  mulog2sumlem2  26038  pntlemb  26100  ostth3  26141  axcontlem2  26678  elntg2  26698  clwwlknon1le1  27807  0ewlk  27820  0pth  27831  nv1  28379  nmosetn0  28469  nmoo0  28495  norm1  28953  nmopsetn0  29569  nmfnsetn0  29582  nmopge0  29615  nmfnge0  29631  nmop0  29690  nmfn0  29691  nmcexi  29730  hstle1  29930  strlem1  29954  strlem5  29959  jplem1  29972  cshw1s2  30561  xrsmulgzz  30592  xrge0slmod  30844  unitssxrge0  31042  xrge0iifcnv  31075  xrge0iifiso  31077  xrge0iifhom  31079  nexple  31167  ddemeas  31394  ballotlem2  31645  ballotlem4  31655  ballotlemic  31663  ballotlem1c  31664  signswch  31730  signsvf0  31749  itgexpif  31776  cvmliftlem13  32440  knoppndvlem11  33758  knoppndvlem18  33765  poimirlem23  34796  dvasin  34859  areacirclem1  34863  cntotbnd  34955  3cubeslem1  39159  pell1qrge1  39345  pell1qrgaplem  39348  pell14qrgapw  39351  pellqrex  39354  pellfundgt1  39358  rmspecnonsq  39382  rmspecfund  39384  rmspecpos  39391  monotoddzzfi  39417  jm2.23  39471  limsup10ex  41930  ioodvbdlimc1lem2  42093  ioodvbdlimc2lem  42095  stoweidlem1  42163  stoweidlem11  42173  stoweidlem18  42180  stoweidlem34  42196  stoweidlem38  42200  stoweidlem55  42217  wallispi2lem1  42233  stirlinglem1  42236  stirlinglem11  42246  stirlinglem13  42248  fourierdlem11  42280  fourierdlem15  42284  fourierdlem39  42308  fourierdlem41  42310  fourierdlem48  42316  fourierdlem79  42347  ovn0lem  42724  hoidmvlelem2  42755  hoidmvlelem4  42757  smfmullem4  42946  iccpartgt  43464  flsqrt  43633  2exp340mod341  43775  8exp8mod9  43778  nfermltl8rev  43784  tgblthelfgott  43857  tgoldbach  43859  nn0eo  44516
  Copyright terms: Public domain W3C validator