HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0lnfn 28693
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9976 . . 3 0 ∈ ℂ
21fconst6 6052 . 2 ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3 hvmulcl 27719 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
4 hvaddcl 27718 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
53, 4sylan 488 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
6 c0ex 9978 . . . . . . 7 0 ∈ V
76fvconst2 6423 . . . . . 6 (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = 0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = 0)
96fvconst2 6423 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
109oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = (𝑥 · 0))
11 mul01 10159 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
1210, 11sylan9eqr 2677 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
136fvconst2 6423 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑧) = 0)
1412, 13oveqan12d 6623 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = (0 + 0))
15 00id 10155 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1614, 15syl6eq 2671 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = 0)
178, 16eqtr4d 2658 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
18173impa 1256 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
1918rgen3 2970 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))
20 ellnfn 28591 . 2 (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))))
212, 19, 20mpbir2an 954 1 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {csn 4148   × cxp 5072  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885  chil 27625   + cva 27626   · csm 27627  LinFnclf 27660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-hilex 27705  ax-hfvadd 27706  ax-hfvmul 27711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-lnfn 28556
This theorem is referenced by:  nmfn0  28695  lnfn0  28755  lnfnmul  28756  nmbdfnlb  28758  nmcfnex  28761  nmcfnlb  28762  lnfncon  28764  riesz4  28772  riesz1  28773
  Copyright terms: Public domain W3C validator