MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0lt1sr 9769
Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lt1sr 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 9690 . . . . . 6 1PP
2 addclpr 9693 . . . . . 6 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
31, 1, 2mp2an 703 . . . . 5 (1P +P 1P) ∈ P
4 ltaddpr 9709 . . . . 5 (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1PP) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
53, 1, 4mp2an 703 . . . 4 (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6 addcompr 9696 . . . 4 (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
75, 6breqtrri 4601 . . 3 (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
8 ltsrpr 9751 . . 3 ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
97, 8mpbir 219 . 2 [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10 df-0r 9735 . 2 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
11 df-1r 9736 . 2 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
129, 10, 113brtr4i 4604 1 0R <R 1R
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  cop 4127   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  [cec 7601  Pcnp 9534  1Pc1p 9535   +P cpp 9536  <P cltp 9538   ~R cer 9539  0Rc0r 9541  1Rc1r 9542   <R cltr 9546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-omul 7426  df-er 7603  df-ec 7605  df-qs 7609  df-ni 9547  df-pli 9548  df-mi 9549  df-lti 9550  df-plpq 9583  df-mpq 9584  df-ltpq 9585  df-enq 9586  df-nq 9587  df-erq 9588  df-plq 9589  df-mq 9590  df-1nq 9591  df-rq 9592  df-ltnq 9593  df-np 9656  df-1p 9657  df-plp 9658  df-ltp 9660  df-enr 9730  df-nr 9731  df-ltr 9734  df-0r 9735  df-1r 9736
This theorem is referenced by:  1ne0sr  9770  supsrlem  9785
  Copyright terms: Public domain W3C validator