MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ltpnf 11994
Description: Zero is less than plus infinity. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0ltpnf 0 < +∞

Proof of Theorem 0ltpnf
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . 2 0 ∈ ℝ
2 ltpnf 11992 . 2 (0 ∈ ℝ → 0 < +∞)
31, 2ax-mp 5 1 0 < +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109   < clt 10112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-iota 5889  df-fv 5934  df-ov 6693  df-pnf 10114  df-xr 10116  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  xmulgt0  12151  reltxrnmnf  12210  hashneq0  13193  hashge2el2dif  13300  sgnpnf  13877  pnfnei  21072  0bdop  28980  xlt2addrd  29651  xrge0mulc1cn  30115  pnfneige0  30125  lmxrge0  30126  mbfposadd  33587  ftc1anclem5  33619  fourierdlem111  40752  fouriersw  40766
  Copyright terms: Public domain W3C validator