MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ltpnf 12505
Description: Zero is less than plus infinity. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0ltpnf 0 < +∞

Proof of Theorem 0ltpnf
StepHypRef Expression
1 0re 10631 . 2 0 ∈ ℝ
2 ltpnf 12503 . 2 (0 ∈ ℝ → 0 < +∞)
31, 2ax-mp 5 1 0 < +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105   class class class wbr 5057  cr 10524  0cc0 10525  +∞cpnf 10660   < clt 10663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-xp 5554  df-pnf 10665  df-xr 10667  df-ltxr 10668
This theorem is referenced by:  xmulgt0  12664  reltxrnmnf  12723  hashneq0  13713  hashge2el2dif  13826  sgnpnf  14440  pnfnei  21756  0bdop  29697  xlt2addrd  30408  xnn0gt0  30420  xrge0mulc1cn  31083  pnfneige0  31093  lmxrge0  31094  mbfposadd  34820  ftc1anclem5  34852  fourierdlem111  42379  fouriersw  42393
  Copyright terms: Public domain W3C validator